Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (an), если a₁=2[?][?] a2=5. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии (bn), если в₁=27, a знаменатель q = 1/3.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

Арифметическая прогрессия

• Найдём разность арифметической прогрессии:

\[ d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3 \]

• Теперь найдём четырнадцатый член:

\[ a_{14} = a_1 + (14 - 1)d = 2 + 13 \cdot 3 = 2 + 39 = 41 \]

• Найдём сумму двадцати первых членов:

\[ S_{20} = \frac{2a_1 + (20 - 1)d}{2} \cdot 20 = \frac{2 \cdot 2 + 19 \cdot 3}{2} \cdot 20 = \frac{4 + 57}{2} \cdot 20 = \frac{61}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = 610 \]

Геометрическая прогрессия

• Найдём пятый член геометрической прогрессии:

\[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{3} \]

• Найдём сумму четырёх первых членов:

\[ S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{27(1 - (\frac{1}{3})^4)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27(1 - \frac{1}{81})}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{80}{3} \cdot \frac{3}{2} = 40 \]

Ответ: Для арифметической прогрессии: a₁₄ = 41, S₂₀ = 610. Для геометрической прогрессии: b₅ = 1/3, S₄ = 40.