19 Найдите четырёхзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на 8; сумма цифр числа А + 2 делится на 8: число А больше 1500 и меньше 1700. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Ответ:

Пусть число A имеет вид ABCD, где A, B, C, D - цифры.

Так как число больше 1500 и меньше 1700, то А = 1, а B = 5 или 6.

Сумма цифр числа А делится на 8, то есть А + В + С + D = 1 + В + С + D должно делиться на 8.

Сумма цифр числа А + 2 = (1000 + 100В + 10С + D) + 2 = 1002 + 100В + 10С + D делится на 8, то есть А + 2 + В + С + D = 3 + В + С + D должно делиться на 8.

Если В = 5, то 1 + 5 + С + D = 6 + С + D делится на 8, и 3 + 5 + С + D = 8 + С + D делится на 8. Следовательно, С + D = 0 или 8 или 16.

Если С + D = 0, то С = 0 и D = 0. Число А = 1500.

Если С + D = 8, то возможные варианты: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0).

Например, С = 1, D = 7. Число А = 1517. Сумма цифр: 1 + 5 + 1 + 7 = 14 (не делится на 8).

С + D = 16, то возможные варианты: (8, 8), (7, 9), (9, 7).

Например, С = 8, D = 8. Число А = 1588. Сумма цифр: 1 + 5 + 8 + 8 = 22 (не делится на 8).

Если В = 6, то 1 + 6 + С + D = 7 + С + D делится на 8, и 3 + 6 + С + D = 9 + С + D делится на 8. Следовательно, С + D = 1 или 9 или 17.

Если С + D = 1, то возможные варианты: (0, 1), (1, 0).

Например, С = 0, D = 1. Число А = 1601. Сумма цифр: 1 + 6 + 0 + 1 = 8 (делится на 8). Число А + 2 = 1603. Сумма цифр: 1 + 6 + 0 + 3 = 10 (не делится на 8).

Если С + D = 9, то возможные варианты: (0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0).

Например, С = 1, D = 8. Число А = 1618. Сумма цифр: 1 + 6 + 1 + 8 = 16 (делится на 8). Число А + 2 = 1620. Сумма цифр: 1 + 6 + 2 + 0 = 9 (не делится на 8).

Если С + D = 17, то возможные варианты: (8, 9), (9, 8).

Например, С = 8, D = 9. Число А = 1689. Сумма цифр: 1 + 6 + 8 + 9 = 24 (делится на 8). Число А + 2 = 1691. Сумма цифр: 1 + 6 + 9 + 1 = 17 (не делится на 8).

Рассмотрим число 1600. Сумма цифр равна 7, что не делится на 8. Число 1608. Сумма цифр равна 15, не делится на 8. Число 1616. Сумма цифр равна 14, не делится на 8. Число 1624. Сумма цифр равна 13, не делится на 8.

Число 1520. Сумма цифр 8, что делится на 8. Число 1522. Сумма цифр 10, что не делится на 8.

Рассмотрим число 1624. Сумма цифр = 13. Не подходит. 1632. Сумма цифр = 12. Не подходит. 1640. Сумма цифр = 11. Не подходит. 1648. Сумма цифр = 19. Не подходит. 1656. Сумма цифр = 18. Не подходит. 1664. Сумма цифр = 17. Не подходит. 1672. Сумма цифр = 16. Подходит!

А + 2 = 1674. Сумма цифр = 18. Не подходит.

Подбором найдено число 1600. 1 + 6 + 0 + 0 = 7. 1 + 6 + 0 + 2 = 9.

1528: 1 + 5 + 2 + 8 = 16, делится на 8; 1 + 5 + 3 + 0 = 9, не делится на 8.

1560: 1 + 5 + 6 + 0 = 12, не делится на 8

1584: 1 + 5 + 8 + 4 = 18, не делится на 8

1624: 1 + 6 + 2 + 4 = 13, не делится на 8

1640: 1 + 6 + 4 + 0 = 11, не делится на 8

1688: 1 + 6 + 8 + 8 = 23, не делится на 8

1616: 1+6+1+6=14, не делится на 8

Путем подбора найдем число 1528: Сумма цифр 16, делится на 8; 1530: сумма цифр 9

Ответ: 1528