Найдите четырёхзначное число, которое в 14 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы найти четырёхзначное число \( N \), такое что \( N = \frac{x^3}{14} \), где \( x \) — натуральное число, и \( 1000 \le N \le 9999 \).

Из этого следует, что \( 1000 \le \frac{x^3}{14} \le 9999 \).

Умножим все части неравенства на 14:

• \( 1000 \cdot 14 \le x^3 \le 9999 \cdot 14 \)
• \( 14000 \le x^3 \le 139986 \)

Теперь найдём натуральное число \( x \), куб которого попадает в этот диапазон. Проверим кубы натуральных чисел:

• \( 20^3 = 8000 \) (слишком мало)
• \( 30^3 = 27000 \)
• \( 40^3 = 64000 \)
• \( 50^3 = 125000 \)
• \( 60^3 = 216000 \) (слишком много)

Значит, \( x \) находится между 30 и 50. Проверим значения в этом диапазоне:

• \( 30^3 = 27000 \). \( 27000 / 14 \approx 1928.57 \) (это четырёхзначное число, но \( x^3 \) должно делиться на 14 без остатка, то есть \( x^3 \) должно быть кратно 14. Так как 14 = 2 * 7, \( x \) должно быть кратно 2 и 7, следовательно, \( x \) должно быть кратно 14.)

Ищем \( x \), кратное 14, чтобы \( x^3 \) делилось на 14. Ближайшее кратное 14 к 30 — это \( 2 \times 14 = 28 \). Но \( 28^3 = 21952 \). \( 21952 / 14 = 1568 \). Это четырёхзначное число.

Проверим следующее кратное 14: \( 3 \times 14 = 42 \).

• \( 42^3 = 74088 \).
• \( 74088 / 14 = 5292 \). Это четырёхзначное число.

Проверим следующее кратное 14: \( 4 \times 14 = 56 \).

• \( 56^3 = 175616 \).
• \( 175616 / 14 \approx 12544 \) (это пятизначное число).

Итак, у нас есть два подходящих четырёхзначных числа: 1568 и 5292. Задача просит указать любое одно такое число.

Ответ: 5292