Найдите четырёхзначное число, кратное 55, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число должно быть кратно 55, значит, оно должно делиться на 5 и на 11.

1. Делимость на 5: Число должно оканчиваться на 0 или 5. Так как все цифры должны быть чётными, последняя цифра может быть только 0.
2. Делимость на 11: Сумма цифр на чётных позициях и сумма цифр на нечётных позициях должны отличаться на число, кратное 11 (в данном случае, на 0, так как число четырёхзначное, и цифры все чётные, наименьшая сумма может быть 0+2=2, наибольшая 6+8=14, поэтому разница может быть только 0).
3. Чётные и различные цифры: Используем цифры {0, 2, 4, 6, 8}.

Попробуем составить число. Пусть число имеет вид ABCO, где O = 0.

Условие делимости на 11: A + C = B + 0 (т.е. A + C = B).

Перебираем возможные варианты четных цифр A, B, C из множества {2, 4, 6, 8} (так как все цифры должны быть различны и A не может быть 0).

• Если B = 4, то A + C = 4. Возможные пары (A, C): (2, 2) — цифры не различны.
• Если B = 6, то A + C = 6. Возможные пары (A, C): (2, 4) или (4, 2).
• Вариант 1: A=2, B=6, C=4, O=0. Число: 2640. Проверка: 2640 кратно 55 (2640 / 55 = 48). Цифры 2, 6, 4, 0 — различные и четные.
• Вариант 2: A=4, B=6, C=2, O=0. Число: 4620. Проверка: 4620 кратно 55 (4620 / 55 = 84). Цифры 4, 6, 2, 0 — различные и четные.
• Если B = 8, то A + C = 8. Возможные пары (A, C): (2, 6), (6, 2).
• Вариант 3: A=2, B=8, C=6, O=0. Число: 2860. Проверка: 2860 кратно 55 (2860 / 55 = 52). Цифры 2, 8, 6, 0 — различные и четные.
• Вариант 4: A=6, B=8, C=2, O=0. Число: 6820. Проверка: 6820 кратно 55 (6820 / 55 = 124). Цифры 6, 8, 2, 0 — различные и четные.

Можно выбрать любое из найденных чисел.

Ответ: 2640