Найдите числа a, b и c, если при всех допустимых значениях переменной x выполнено равенство \(\frac{3x^2-6x+7}{x+1}=ax+b+\frac{c}{x+1}\).

Допустимое значение переменной: \(x\ne -1\).

Приведём правую часть к общему знаменателю:

\[ax+b+\frac{c}{x+1}=\frac{(ax+b)(x+1)+c}{x+1}.\]

Следовательно, числители равны:

\[3x^2-6x+7=(ax+b)(x+1)+c.\]

Раскроем скобки:

\[3x^2-6x+7=ax^2+(a+b)x+b+c.\]

Сравнивая коэффициенты, получаем:

1. \(a=3\);
2. \(a+b=-6\), поэтому \(3+b=-6\), откуда \(b=-9\);
3. \(b+c=7\), поэтому \(-9+c=7\), откуда \(c=16\).

Ответ: \(a=3,\ b=-9,\ c=16\).