Найдите числа х и у, которые удовлетворяют равенству 42 + 6 + 20уб - 8х2 = 0, если известно, что а и в не коллинеарны.

Решение:

Запишем уравнение в виде:

\[4\vec{a} + \vec{b} + 20y\vec{b} - 8x\vec{a} = \vec{0}\]

Сгруппируем члены с \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[(4 - 8x)\vec{a} + (1 + 20y)\vec{b} = \vec{0}\]

Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то равенство нулю возможно только в случае, если коэффициенты при этих векторах равны нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 4 - 8x = 0 \\ 1 + 20y = 0 \end{cases}\]

Решим первое уравнение:

\[4 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

Решим второе уравнение:

\[1 + 20y = 0 \Rightarrow 20y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{20}\]

Таким образом, находим значения \(x\) и \(y\):

\[x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{20}\]

Ответ: \[x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{20}\]