Найдите число, если \(\frac{16}{27}\) его равны \(\frac{2^{23} \cdot 9^8}{6^{15} · 3^4}\).

Решение:

Пусть искомое число равно \(x\). По условию задачи мы имеем:

\( \frac{16}{27} x = \frac{2^{23} \cdot 9^8}{6^{15} · 3^4} \)

Для решения этой задачи, упростим правую часть уравнения, представив числа в виде простых множителей:

\( 9 = 3^2 \)

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Подставим эти значения в уравнение:

\( \frac{2^{23} \cdot (3^2)^8}{(2 · 3)^{15} · 3^4} = \frac{2^{23} · 3^{16}}{2^{15} · 3^{15} · 3^4} \)

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\( = \frac{2^{23}}{2^{15}} · \frac{3^{16}}{3^{15} · 3^4} \)

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) и \( a^m · a^n = a^{m+n} \):

\( = 2^{23-15} · \frac{3^{16}}{3^{15+4}} = 2^8 · \frac{3^{16}}{3^{19}} = 2^8 · 3^{16-19} = 2^8 · 3^{-3} \)

Теперь представим \( 3^{-3} \) как \( \frac{1}{3^3} \):

\( = 2^8 · \frac{1}{3^3} = \frac{2^8}{3^3} \)

Итак, у нас получилось:

\( \frac{16}{27} x = \frac{2^8}{3^3} \)

Теперь выразим \(x\):

\( x = \frac{2^8}{3^3} · \frac{27}{16} \)

Заметим, что \( 27 = 3^3 \) и \( 16 = 2^4 \):

\( x = \frac{2^8}{3^3} · \frac{3^3}{2^4} \)

Сократим одинаковые множители:

\( x = 2^{8-4} · 3^{3-3} = 2^4 · 3^0 \)

Так как \( 3^0 = 1 \) и \( 2^4 = 16 \):

\( x = 16 · 1 = 16 \)

Ответ: 16.