15. Найдите число, квадрат которого при увеличении этого числа на 2 увеличивается на 20.

Пусть x - искомое число. Тогда по условию задачи, квадрат числа, увеличенный на 2, равен x² + 2, а это, в свою очередь, равно x + 20.

Составим уравнение:

$$x^2 + 2 = x + 20$$

$$x^2 - x - 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-18) = 1 + 72 = 73$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{73}}{2 * 1} = \frac{1 + \sqrt{73}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{73}}{2 * 1} = \frac{1 - \sqrt{73}}{2}$$

Округлим корень из 73: $$\sqrt{73} \approx 8.54$$

Тогда приближенные значения корней:

$$x_1 \approx \frac{1 + 8.54}{2} \approx 4.77$$

$$x_2 \approx \frac{1 - 8.54}{2} \approx -3.77$$

Проверим:

Для x₁ ≈ 4.77:

4. 77² + 2 ≈ 22.75 + 2 = 24.75

4. 77 + 20 = 24.77

Для x₂ ≈ -3.77:

(-3.77)² + 2 ≈ 14.21 + 2 = 16.21

-3.77 + 20 = 16.23

Оба корня подходят.

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{73}}{2}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{73}}{2}$$