Найдите cosα, если sinα = \frac{3\sqrt{11}}{10}, α ∈ (-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}).

Смотри, тут всё просто: зная синус угла и то, что угол находится в промежутке от -π/2 до π/2, мы можем однозначно определить косинус этого угла. Логика такая: используем основное тригонометрическое тождество, а затем учитываем знак косинуса в заданном промежутке.

Пошаговое решение:

1. Для начала вспомним основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \]
2. Выразим \( cos^2(α) \) через \( sin^2(α) \): \[ cos^2(α) = 1 - sin^2(α) \]
3. Подставим значение \( sin(α) = \frac{3\sqrt{11}}{10} \) в формулу: \[ cos^2(α) = 1 - (\frac{3\sqrt{11}}{10})^2 \]
4. Вычислим квадрат синуса: \[ (\frac{3\sqrt{11}}{10})^2 = \frac{9 \cdot 11}{100} = \frac{99}{100} \]
5. Подставим полученное значение в формулу для \( cos^2(α) \): \[ cos^2(α) = 1 - \frac{99}{100} = \frac{100 - 99}{100} = \frac{1}{100} \]
6. Теперь найдем \( cos(α) \), извлекая квадратный корень из \( cos^2(α) \): \[ cos(α) = ±\sqrt{\frac{1}{100}} = ±\frac{1}{10} \]
7. Учитывая, что угол \( α \) находится в промежутке \( (-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}) \), косинус в этом промежутке положительный. Таким образом: \[ cos(α) = \frac{1}{10} \]

Ответ: cosα = \frac{1}{10}