Найдите ctg² а, если -41 sin² a + 17 cos² a = 16.

Решение:

Дано уравнение: \( -41 \sin^2 a + 17 \cos^2 a = 16 \). Нам нужно найти \( \operatorname{ctg}^2 a \).

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Выразим \( \sin^2 a \) как \( 1 - \cos^2 a \) и подставим в исходное уравнение:

\( -41(1 - \cos^2 a) + 17 \cos^2 a = 16 \)

2. Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\( -41 + 41 \cos^2 a + 17 \cos^2 a = 16 \)

\( 58 \cos^2 a = 16 + 41 \)

\( 58 \cos^2 a = 57 \)

\( \cos^2 a = \frac{57}{58} \)

3. Теперь найдём \( \sin^2 a \) через тождество \( \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \):

\( \sin^2 a = 1 - \frac{57}{58} = \frac{58 - 57}{58} = \frac{1}{58} \)

4. Наконец, найдём \( \operatorname{ctg}^2 a \), используя определение \( \operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a} \), следовательно \( \operatorname{ctg}^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \):

\( \operatorname{ctg}^2 a = \frac{57/58}{1/58} = \frac{57}{58} \cdot \frac{58}{1} = 57 \)

Ответ: 57.