Найдите дисперсию случайной величины, имеющей распределение Y ~ (-5 -3 -1 1 / 0,1 0,4 0,4 0,1). Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной.

Решение:

Для нахождения дисперсии случайной величины $$Y$$, которая задана своим распределением вероятностей, нам нужно сначала найти математическое ожидание $$E(Y)$$.

Математическое ожидание $$E(Y)$$ вычисляется как сумма произведений каждого возможного значения случайной величины на соответствующую ему вероятность:

\( E(Y) = \sum_{i=1}^{n} y_i P(Y=y_i) \)

В данном случае:

\( E(Y) = (-5 · 0.1) + (-3 · 0.4) + (-1 · 0.4) + (1 · 0.1) \)

\( E(Y) = -0.5 - 1.2 - 0.4 + 0.1 \)

\( E(Y) = -2.1 + 0.1 \)

\( E(Y) = -2.0 \)

Теперь найдем дисперсию $$D(Y)$$. Дисперсия вычисляется по формуле:

\( D(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 \)

Сначала вычислим $$E(Y^2)$$, математическое ожидание квадрата случайной величины:

\( E(Y^2) = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 P(Y=y_i) \)

\( E(Y^2) = ((-5)^2 · 0.1) + ((-3)^2 · 0.4) + ((-1)^2 · 0.4) + (1^2 · 0.1) \)

\( E(Y^2) = (25 · 0.1) + (9 · 0.4) + (1 · 0.4) + (1 · 0.1) \)

\( E(Y^2) = 2.5 + 3.6 + 0.4 + 0.1 \)

\( E(Y^2) = 6.6 \)

Теперь подставим значения в формулу дисперсии:

\( D(Y) = 6.6 - (-2.0)^2 \)

\( D(Y) = 6.6 - 4.0 \)

\( D(Y) = 2.6 \)

Ответ: 2.6