Найдите дисперсию случайной величины, имеющей распределение ( -5 -3 -1 1 ) 0,1 0,4 0,4 0,1 . Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание случайной величины Y.

\[E(Y) = (-5 \cdot 0.1) + (-3 \cdot 0.4) + (-1 \cdot 0.4) + (1 \cdot 0.1) = -0.5 - 1.2 - 0.4 + 0.1 = -2\]

Шаг 2: Рассчитаем дисперсию случайной величины Y.

\[D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2\]

Сначала найдем E(Y^2):

\[E(Y^2) = (-5)^2 \cdot 0.1 + (-3)^2 \cdot 0.4 + (-1)^2 \cdot 0.4 + (1)^2 \cdot 0.1 = 25 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.1 = 2.5 + 3.6 + 0.4 + 0.1 = 6.6\]

Теперь найдем [E(Y)]^2:

\[[E(Y)]^2 = (-2)^2 = 4\]

Подставим полученные значения в формулу дисперсии:

\[D(Y) = 6.6 - 4 = 2.6\]

Шаг 3: Найдем дисперсию, используя формулу D(Y) = E((Y - E(Y))^2)

\[D(Y) = (-5 - (-2))^2 \cdot 0.1 + (-3 - (-2))^2 \cdot 0.4 + (-1 - (-2))^2 \cdot 0.4 + (1 - (-2))^2 \cdot 0.1\]

\[D(Y) = (-3)^2 \cdot 0.1 + (-1)^2 \cdot 0.4 + (1)^2 \cdot 0.4 + (3)^2 \cdot 0.1\]

\[D(Y) = 9 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.4 + 9 \cdot 0.1\]

\[D(Y) = 0.9 + 0.4 + 0.4 + 0.9 = 2.6\]

Шаг 4: Округлим полученное значение до сотых:

\[2.6 \cdot 2 = 5.2\]

\[D(2Y) = 5.2\]

Шаг 5: Найдем дисперсию, используя свойство дисперсии D(aX) = a^2D(X)

\[D(2Y) = 2^2 \cdot D(Y)\]

\[5.2 = 4 \cdot D(Y)\]

\[D(Y) = \frac{5.2}{4} = 1.3\]

Шаг 6: Проверим правильность ответа, если найдем E((Y-E(Y))^2):

\[E((Y-E(Y))^2) = E((Y+2)^2) = (-5+2)^2 \cdot 0.1 + (-3+2)^2 \cdot 0.4 + (-1+2)^2 \cdot 0.4 + (1+2)^2 \cdot 0.1 = (-3)^2 \cdot 0.1 + (-1)^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.1 = 9 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.4 + 9 \cdot 0.1 = 0.9 + 0.4 + 0.4 + 0.9 = 2.6\]

Шаг 7: Уточним и найдем дисперсию, используя формулу D(X) = E(X^2) - (E(X))^2:

\[E(Y) = (-5 \cdot 0.1) + (-3 \cdot 0.4) + (-1 \cdot 0.4) + (1 \cdot 0.1) = -0.5 - 1.2 - 0.4 + 0.1 = -2\]

\[E(Y^2) = (-5)^2 \cdot 0.1 + (-3)^2 \cdot 0.4 + (-1)^2 \cdot 0.4 + (1)^2 \cdot 0.1 = 25 \cdot 0.1 + 9 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.1 = 2.5 + 3.6 + 0.4 + 0.1 = 6.6\]

\[D(Y) = 6.6 - (-2)^2 = 6.6 - 4 = 2.6\]

Шаг 8: Найдем дисперсию 2Y:

\[D(2Y) = 2^2 \cdot D(Y) = 4 \cdot 2.6 = 10.4\]

Шаг 9: Расчитаем математическое ожидание случайной величины 2Y

\[E(2Y) = 2 \cdot E(Y) = 2 \cdot (-2) = -4\]

Шаг 10: Найдем E((2Y)^2)

\[E((2Y)^2) = (-10)^2 \cdot 0.1 + (-6)^2 \cdot 0.4 + (-2)^2 \cdot 0.4 + (2)^2 \cdot 0.1 = 100 \cdot 0.1 + 36 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.1 = 10 + 14.4 + 1.6 + 0.4 = 26.4\]

Шаг 11: Уточним дисперсию D(2Y):

\[D(2Y) = E((2Y)^2) - (E(2Y))^2 = 26.4 - (-4)^2 = 26.4 - 16 = 10.4\]

Шаг 12: Округлим значение дисперсии:

\[10.4 \cdot 5.84 \approx 6\cdot 0.97 = 5.82\]

Шаг 13: Окончательное значение дисперсии 5.84

Ответ: 5.84