Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB = 11, BC = 18, ∠ABM = 72° и ∠CBM = 36°.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC. Угол при вершине B равен ∠ABC = 72° + 36° = 108°.

По теореме косинусов для сторон AB и BC:

\(AC^2 = 11^2 + 18^2 - 2 \cdot 11 \cdot 18\cos108^\circ = 445 - 396\cos108^\circ\).

По теореме Аполлония для медианы BM:

\(AB^2 + BC^2 = 2(AM^2 + BM^2)\), где \(AM = AC/2\). Поэтому

\(BM^2 = \frac{11^2+18^2}{2} - \frac{AC^2}{4} = \frac{544 + 396\cos108^\circ}{4}\).

Так как \(\cos108^\circ = \frac{1-\sqrt5}{4}\), получаем \(BM = \frac{1}{2}\sqrt{544-99\sqrt5} \approx 8.98\).

Ответ: \(BM = \frac{1}{2}\sqrt{544-99\sqrt5} \approx 8.98\).