Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB=11\), \(BC=18\), \(\angle ABM=72^\circ\) и \(\angle CBM=36^\circ\).

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AC\), поэтому \(AM=MC\).

\(\angle ABC=72^\circ+36^\circ=108^\circ\).

По теореме косинусов в треугольнике \(ABC\):

\[AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos108^\circ.\]

Поскольку \(\cos108^\circ=-\cos72^\circ\), получаем \(AC^2=445+396\cos72^\circ\). А так как \(\cos72^\circ=(\sqrt5-1)/4\), то \(AC^2=346+99\sqrt5\).

По теореме Аполлония для медианы:

\[AB^2+BC^2=2\left(BM^2+\left(\frac{AC}{2}\right)^2\right).\]

Следовательно, \[BM^2=\frac{2\cdot11^2+2\cdot18^2-AC^2}{4}=\frac{445-99\sqrt5}{4}.\]

Ответ: \(BM=\frac{\sqrt{445-99\sqrt5}}{2}\).