Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=7$, $BC=12$, $\angle ABM=73^\circ$ и $\angle CBM=34^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=7$, $BC=12$, $\angle ABM=73^\circ$ и \(\angle…$ Фото задания

Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известно, что $AB=7$, $BC=12$, $\angle ABM=73^\circ$ и $\angle CBM=34^\circ$.

Accepted Answer

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM=MC$.

Найдём угол при вершине $B$: $\angle ABC=73^\circ+34^\circ=107^\circ$.

По теореме Аполлония для медианы к стороне $AC$: $AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2)$. Чтобы найти $BM$, выразим её также через стороны и угол, разделённый медианой. По теореме синусов в треугольниках $ABM$ и $CBM$, с учётом $AM=MC$:

$\dfrac{AB}{\sin\angle AMB}=\dfrac{BM}{\sin\angle BAM}$, а $\dfrac{BC}{\sin\angle BMC}=\dfrac{BM}{\sin\angle BCM}$. Удобнее применить теорему Стюарта для cevian $BM$: $AB^2\cdot MC+BC^2\cdot AM=AC(BM^2+AM\cdot MC)$. При $AM=MC=\frac{AC}{2}$ получаем $BM^2=\frac{AB^2+BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4}$.

Сначала найдём $AC$ по теореме косинусов в треугольнике $ABC$: $AC^2=7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cos107^\circ$. Тогда

$BM^2=\frac{7^2+12^2}{2}-\frac{7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cos107^\circ}{4}=\frac{7^2+12^2+2\cdot7\cdot12\cos107^\circ}{4}$.

$BM=\frac12\sqrt{193+168\cos107^\circ}\approx\frac12\sqrt{143.87}\approx5.997$.

Ответ: $BM\approx6.00$.

Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB=7\), \(BC=12\), \(\angle ABM=73^\circ\) и \(\angle CBM=34^\circ\).

Ответ: