Найдите длину медианы BM треугольника ABC, если известно, что AB = 9, BC = 14, ∠ABM = 71° и ∠CBM = 38°.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC, поэтому AM = MC.

По теореме Аполлония для медианы:

AB² + BC² = 2(BM² + AM²).

Обозначим BM = x. В треугольнике ABM применим теорему косинусов:

AM² = 9² + x² − 2 · 9 · x · cos 71° = 81 + x² − 18x cos 71°.

Подставим это выражение в теорему Аполлония:

9² + 14² = 2(x² + 81 + x² − 18x cos 71°).

После упрощения получаем уравнение:

4x² − 36x cos 71° − 115 = 0.

Берём положительный корень, поскольку длина положительна:

x = (36 cos 71° + √((36 cos 71°)² + 1840)) / 8 ≈ 7.02.

Ответ: BM ≈ 7,02.