1193 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и в; в) равнобедренного треугольника с основанием- ем а и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом с между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см².

• а) Длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равна $$C = 2 \pi R$$, где R - радиус описанной окружности. Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. Следовательно, длина окружности равна $$C = 2 \pi \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$$.
• б) Для прямоугольного треугольника с катетами a и b, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенуза $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$. Следовательно, радиус $$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$. Длина окружности равна $$C = 2 \pi R = \pi \sqrt{a^2 + b^2}$$.
• в) Для равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b, радиус описанной окружности равен $$R = \frac{abc}{4S}$$, где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника. В данном случае стороны a, b, b. Площадь треугольника можно найти как $$S = \frac{a}{2} \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{4} \sqrt{4b^2 - a^2}$$. Тогда радиус $$R = \frac{ab^2}{a\sqrt{4b^2 - a^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$$. Длина окружности $$C = 2\pi R = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$$.
• г) Для прямоугольника с меньшей стороной a и острым углом α между диагоналями, диагональ прямоугольника равна $$d = \sqrt{2a^2/(1 - cos \alpha)}$$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2a^2/(1 - cos \alpha)}}{2}$$. Длина окружности $$C = 2\pi R = \pi \sqrt{2a^2/(1 - cos \alpha)} = \pi a \sqrt{\frac{2}{1 - cos \alpha}}$$.
• д) Площадь правильного шестиугольника равна $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$, где a - сторона шестиугольника. Дано, что $$S = 24\sqrt{3}$$. Тогда $$\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 24\sqrt{3}$$ $$\frac{3}{2} a^2 = 24$$ $$a^2 = 16$$ $$a = 4$$ Радиус описанной окружности около правильного шестиугольника равен стороне шестиугольника, то есть R = a = 4. Длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$$.

Ответ: а) $$\frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$$, б) $$\pi \sqrt{a^2 + b^2}$$, в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$$, г) $$\pi a \sqrt{\frac{2}{1 - cos \alpha}}$$, д) $$8\pi$$