1. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной а. 2. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а. 3. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 30°. 4. Площадь сектора с центральным углом в 135° равна S. Найдите радиус сектора.

1. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a.

В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен:

\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Длина окружности вычисляется по формуле:

\[C = 2\pi R\]

Подставляем значение радиуса:

\[C = 2\pi \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}}\]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[C = \frac{2\pi a \sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(\frac{2\pi a \sqrt{3}}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что радиус выражен через сторону треугольника, а затем подставьте в формулу длины окружности.

Доп. профит: Уровень Эксперт Знание формулы радиуса описанной окружности для правильного треугольника значительно упрощает решение.

2. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему острым углом α.

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

где \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза.

Из условия известен катет \(a\) и угол \(\alpha\), прилежащий к нему. Выразим второй катет \(b\) и гипотенузу \(c\) через \(a\) и \(\alpha\):

\[b = a \cdot tg(\alpha)\]

\[c = \frac{a}{cos(\alpha)}\]

Подставляем эти выражения в формулу для радиуса вписанной окружности:

\[r = \frac{a + a \cdot tg(\alpha) - \frac{a}{cos(\alpha)}}{2} = \frac{a(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{cos(\alpha)})}{2}\]

Площадь круга вычисляется по формуле:

\[S = \pi r^2\]

Подставляем выражение для радиуса:

\[S = \pi \left(\frac{a(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{cos(\alpha)})}{2}\right)^2\]

\[S = \frac{\pi a^2}{4} \left(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{cos(\alpha)}\right)^2\]

Ответ: \(\frac{\pi a^2}{4} \left(1 + tg(\alpha) - \frac{1}{cos(\alpha)}\right)^2\)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что радиус выражен через катет и угол, а затем подставьте в формулу площади круга.

Доп. профит: Уровень Эксперт Знание тригонометрических функций и формул для радиуса вписанной окружности помогает быстро решить задачу.

3. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 30°.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле:

\[l = \frac{\pi R \alpha}{180}\]

где \(R\) — радиус окружности, \(\alpha\) — градусная мера дуги.

Подставляем известные значения \(R = 6\) см и \(\alpha = 30^\circ\):

\[l = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30}{180} = \frac{180 \pi}{180} = \pi\]

Ответ: \(\pi\) см

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения в формулу длины дуги и убедитесь в правильности расчетов.

Доп. профит: Запомни Формула длины дуги: \(l = \frac{\pi R \alpha}{180}\)

4. Площадь сектора с центральным углом в 135° равна S. Найдите радиус сектора.

Площадь сектора вычисляется по формуле:

\[S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}\]

где \(R\) — радиус сектора, \(\alpha\) — градусная мера центрального угла.

Выразим радиус \(R\) через площадь \(S\) и угол \(\alpha\):

\[R^2 = \frac{360S}{\pi \alpha}\]

\[R = \sqrt{\frac{360S}{\pi \alpha}}\]

Подставляем известное значение угла \(\alpha = 135^\circ\):

\[R = \sqrt{\frac{360S}{\pi \cdot 135}} = \sqrt{\frac{8S}{3\pi}}\]

Ответ: \(\sqrt{\frac{8S}{3\pi}}\)

Проверка за 10 секунд: Подставьте найденный радиус в формулу площади сектора и убедитесь, что результат равен S.

Доп. профит: Запомни Формула площади сектора: \(S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}\)