1194 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведённой к основанию.

Решение:

а) Длина окружности, вписанной в квадрат со стороной a.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:

$$r = \frac{a}{2}$$

Длина окружности:

$$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a$$

б) Длина окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой c.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны:

$$a = \frac{c}{\sqrt{2}}$$

Радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{\frac{c}{\sqrt{2}} + \frac{c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{2\frac{c}{\sqrt{2}} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2} - 1)}{2}$$

Длина окружности:

$$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2} - 1)}{2} = \pi c(\sqrt{2} - 1)$$

в) Длина окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α.

Пусть катеты треугольника a и b, где a - противолежащий углу α, b - прилежащий углу α.

$$a = c \sin \alpha$$ $$b = c \cos \alpha$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{c \sin \alpha + c \cos \alpha - c}{2} = \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2}$$

Длина окружности:

$$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} = \pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$$

г) Длина окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с углом при основании α и высотой h, проведённой к основанию.

Основание треугольника:

$$a = 2h \cdot tg \alpha$$

Боковая сторона треугольника:

$$b = \frac{h}{\cos \alpha}$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{2S}{a + 2b} = \frac{a \cdot h}{a + 2b} = \frac{2h \cdot tg \alpha \cdot h}{2h \cdot tg \alpha + 2 \cdot \frac{h}{\cos \alpha}} = \frac{2h^2 tg \alpha}{2h(tg \alpha + \frac{1}{\cos \alpha})} = \frac{h tg \alpha}{tg \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}$$

Длина окружности:

$$C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{h tg \alpha}{tg \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}} = \frac{2\pi h tg \alpha}{tg \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}$$

Ответ: а) $$\pi a$$; б) $$\pi c(\sqrt{2} - 1)$$; в) $$\pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$$; г) $$\frac{2\pi h tg \alpha}{tg \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}$$.