Найдите длину отрезка АС, если ∠A = 2∠B, АВ-AC = 15.

Пошаговое решение:

• Обозначим ∠B = x, тогда ∠A = 2x.
• ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 3x.
• Применим теорему синусов: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}\]
• Выразим AB через AC: AB = AC + 15.
• Подставим в теорему синусов: \[\frac{AC + 15}{\sin (180° - 3x)} = \frac{AC}{\sin x}\]
• Упростим: \[\frac{AC + 15}{\sin 3x} = \frac{AC}{\sin x}\]
• Используем формулу синуса тройного угла: sin 3x = 3sin x - 4sin^3 x.
• Подставим: \[\frac{AC + 15}{3\sin x - 4\sin^3 x} = \frac{AC}{\sin x}\]
• Сократим на sin x: \[\frac{AC + 15}{3 - 4\sin^2 x} = AC\]
• Выразим AC: AC + 15 = AC(3 - 4sin^2 x).
• AC(3 - 4sin^2 x) - AC = 15.
• AC(2 - 4sin^2 x) = 15.
• AC = \(\frac{15}{2 - 4sin^2 x}\).
• Заметим, что если ∠A = 2∠B и треугольник прямоугольный (как на рисунке), то ∠C = 90°. Тогда 180° - 3x = 90°, значит, 3x = 90°, и x = 30°.
• sin x = sin 30° = 0.5.
• Подставим: AC = \(\frac{15}{2 - 4(0.5)^2}\) = \(\frac{15}{2 - 1}\) = 15.

Ответ: 15