Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключённого между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

Пусть даны две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ и радиусами $$R_1 = 23$$ и $$R_2 = 7$$ соответственно. Расстояние между центрами $$O_1O_2 = 34$$. Проведем общую касательную к обеим окружностям. Пусть $$A$$ и $$B$$ – точки касания с первой и второй окружностью соответственно. Тогда $$O_1A \perp AB$$ и $$O_2B \perp AB$$. Необходимо найти длину отрезка $$AB$$. Проведем $$O_2C \parallel AB$$, где $$C$$ лежит на $$O_1A$$. Тогда $$O_1CO_2$$ – прямоугольный треугольник, где $$O_1O_2 = 34$$ – гипотенуза, а $$O_1C = R_1 - R_2 = 23 - 7 = 16$$ – один из катетов. Длина $$O_2C$$ равна длине $$AB$$, которую нам нужно найти. По теореме Пифагора: $$O_1O_2^2 = O_1C^2 + O_2C^2$$ $$34^2 = 16^2 + O_2C^2$$ $$1156 = 256 + O_2C^2$$ $$O_2C^2 = 1156 - 256 = 900$$ $$O_2C = \sqrt{900} = 30$$ Так как $$AB = O_2C$$, то $$AB = 30$$. Ответ: 30