Найдите длину промежутка убывания функции y = 181 - 500x + 4x^3.

Решение:

1. Для нахождения промежутков убывания функции, найдем её производную: \[ y' = (181 - 500x + 4x^3)' = -500 + 12x^2 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ -500 + 12x^2 = 0 \] \[ 12x^2 = 500 \] \[ x^2 = \frac{500}{12} = \frac{125}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{125}{3}} = \pm \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{15}}{3} \]
3. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками.
4. На интервале \( \left( -\infty, -\frac{5\sqrt{15}}{3} \right) \), выберем, например, \( x = -10 \). \( y'(-10) = -500 + 12(-10)^2 = -500 + 1200 = 700 > 0 \). Функция возрастает.
5. На интервале \( \left( -\frac{5\sqrt{15}}{3}, \frac{5\sqrt{15}}{3} \right) \), выберем \( x = 0 \). \( y'(0) = -500 + 12(0)^2 = -500 < 0 \). Функция убывает.
6. На интервале \( \left( \frac{5\sqrt{15}}{3}, +\infty \right) \), выберем, например, \( x = 10 \). \( y'(10) = -500 + 12(10)^2 = -500 + 1200 = 700 > 0 \). Функция возрастает.
7. Промежуток убывания функции: \( \left( -\frac{5\sqrt{15}}{3}, \frac{5\sqrt{15}}{3} \right) \).
8. Длина промежутка убывания равна разности конечной и начальной точек: \( L = \frac{5\sqrt{15}}{3} - \left( -\frac{5\sqrt{15}}{3} \right) = \frac{5\sqrt{15}}{3} + \frac{5\sqrt{15}}{3} = \frac{10\sqrt{15}}{3} \).

Ответ: Длина промежутка убывания равна \( \frac{10\sqrt{15}}{3} \).