Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если его сторона равна 15.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Длина стороны равна 15. Высота делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с гипотенузой 15 и одним катетом 7.5. Второй катет является высотой, которую мы ищем. Используем теорему Пифагора: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$$ $$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2$$ $$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$ $$h^2 = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Подставляем $$a = 15$$: $$h = \frac{15\sqrt{3}}{2} = 7.5\sqrt{3}$$ Ответ: $$\frac{15\sqrt{3}}{2}$$