1. Найдите длины сторон прямоугольника, площадь которого равна 51 см², а периметр равен 40 см.

Пусть x и y - длины сторон прямоугольника.

Площадь прямоугольника: $$S = x \cdot y = 51$$

Периметр прямоугольника: $$P = 2(x + y) = 40$$

Выразим y из уравнения для периметра:

$$2(x + y) = 40$$

$$x + y = 20$$

$$y = 20 - x$$

Подставим это выражение в уравнение для площади:

$$x(20 - x) = 51$$

$$20x - x^2 = 51$$

$$x^2 - 20x + 51 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 400 - 204 = 196$$

$$\sqrt{D} = 14$$

$$x_1 = \frac{20 + 14}{2} = \frac{34}{2} = 17$$

$$x_2 = \frac{20 - 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Если $$x = 17$$, то $$y = 20 - 17 = 3$$

Если $$x = 3$$, то $$y = 20 - 3 = 17$$

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 3 см и 17 см.

Ответ: 3 см и 17 см.