7. Найдите для функции у = х² - 4x + 3: а) область определения; б) множество значений; в) наименьшее (наибольшее) значение; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули; е) промежутки знакопостоянства; 2150. ж) промежутки монотонности.

Ответ:

1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\)
2. Множество значений: \([-1; +\infty)\)
3. Наименьшее значение: \(y = -1\)
4. Уравнение оси симметрии: \(x = 2\)
5. Нули функции: \(x_1 = 1, x_2 = 3\)
6. Промежутки знакопостоянства:
   • \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\)
   • \(y < 0\) при \(x \in (1; 3)\)
7. Промежутки монотонности:
   • Функция убывает при \(x \in (-\infty; 2]\)
   • Функция возрастает при \(x \in [2; +\infty)\)

Пошаговое решение:

1. Область определения:

   Для квадратичной функции \(y = x^2 - 4x + 3\) область определения — это все действительные числа, так как нет ограничений на значения \(x\).

   \[D(y) = (-\infty; +\infty)\]

2. Множество значений:

   Найдем вершину параболы. Координата \(x\) вершины вычисляется по формуле: \[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2\]

   Координата \(y\) вершины: \[y_v = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\]

   Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (\(a = 1 > 0\)), парабола направлена вверх, и вершина является её наименьшей точкой. Следовательно, множество значений — это все \(y\), начиная с \(-1\) и до бесконечности.

   \[E(y) = [-1; +\infty)\]

3. Наименьшее значение:

   Наименьшее значение функции — это \(y\) координата вершины параболы, которую мы уже нашли: \(y_v = -1\).

   \[y_{min} = -1\]

4. Уравнение оси симметрии:

   Ось симметрии параболы проходит через её вершину. Уравнение оси симметрии — это вертикальная прямая \(x = x_v\), где \(x_v\) — координата \(x\) вершины параболы.

   \[x = 2\]

5. Нули функции:

   Нули функции — это значения \(x\), при которых \(y = 0\). Решим квадратное уравнение: \[x^2 - 4x + 3 = 0\]

   Показать решение квадратного уравнения

   Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]

   Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

   Таким образом, нули функции: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 1\).

6. Промежутки знакопостоянства:

   Чтобы определить, где функция положительна (\(y > 0\)) и где отрицательна (\(y < 0\)), нарисуем числовую прямую и отметим нули функции.

           +       -       +   
      (----1----)(----3----)
               

   Подставим значения из каждого интервала в функцию:

   • \(x = 0\): \(y = (0)^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0\)
   • \(x = 2\): \(y = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1 < 0\)
   • \(x = 4\): \(y = (4)^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 3 > 0\)

   Следовательно:

   • \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\)
   • \(y < 0\) при \(x \in (1; 3)\)

7. Промежутки монотонности:

   Так как парабола направлена вверх, функция убывает до вершины и возрастает после неё.

   • Функция убывает при \(x \in (-\infty; 2]\)
   • Функция возрастает при \(x \in [2; +\infty)\)

Ответ:

1. Область определения: \((-\infty; +\infty)\)
2. Множество значений: \([-1; +\infty)\)
3. Наименьшее значение: \(y = -1\)
4. Уравнение оси симметрии: \(x = 2\)
5. Нули функции: \(x_1 = 1, x_2 = 3\)
6. Промежутки знакопостоянства:
   • \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\)
   • \(y < 0\) при \(x \in (1; 3)\)
7. Промежутки монотонности:
   • Функция убывает при \(x \in (-\infty; 2]\)
   • Функция возрастает при \(x \in [2; +\infty)\)