Найдите dy/dx для уравнения 3x² + xy + 2y² = 16.

Решение:

Чтобы найти \( \frac{dy}{dx} \) в неявном уравнении, продифференцируем обе части уравнения по \( x \), считая \( y \) функцией от \( x \).

1. Продифференцируем \( 3x^2 \) по \( x \): \( \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \)
2. Продифференцируем \( xy \) по \( x \) с использованием правила произведения: \( \frac{d}{dx}(xy) = 1 · y + x · \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx} \)
3. Продифференцируем \( 2y^2 \) по \( x \), используя правило цепи: \( \frac{d}{dx}(2y^2) = 4y · \frac{dy}{dx} \)
4. Продифференцируем константу \( 16 \): \( \frac{d}{dx}(16) = 0 \)
5. Подставим полученные производные обратно в уравнение:

\[ 6x + y + x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0 \]

6. Соберем все члены, содержащие \( \frac{dy}{dx} \), в одной части уравнения, а остальные — в другой:

\[ x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = -6x - y \]

7. Вынесем \( \frac{dy}{dx} \) за скобки:

\[ \frac{dy}{dx}(x + 4y) = -6x - y \]

8. Разделим обе части на \( (x + 4y) \), чтобы выразить \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-6x - y}{x + 4y} \]

Можно также записать результат как:

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{6x + y}{x + 4y} \]

Ответ: \( \frac{dy}{dx} = \frac{-6x - y}{x + 4y} \)