Задача 1

Пусть один из смежных углов равен $$x$$, тогда другой равен $$4x$$. Так как сумма смежных углов равна $$180^{\circ}$$, то имеем:

$$x + 4x = 180$$ $$5x = 180$$ $$x = \frac{180}{5}$$ $$x = 36^{\circ}$$

Тогда второй угол равен:

$$4x = 4 \cdot 36 = 144^{\circ}$$

Ответ: $$36^{\circ}, 144^{\circ}$$

---

Задача 2

Дано: $$\angle 1 + \angle 4 + \angle 3 = 240^{\circ}$$, $$ \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 290^{\circ}$$

Найти: $$ \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$$

Решение:

Известно, что сумма углов вокруг точки равна $$360^{\circ}$$, то есть $$ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^{\circ}$$.

Выразим $$ \angle 1$$ из первого уравнения: $$ \angle 1 = 240^{\circ} - (\angle 3 + \angle 4)$$.

Выразим $$ \angle 2$$ из второго уравнения: $$ \angle 2 = 290^{\circ} - (\angle 3 + \angle 4)$$.

Подставим в уравнение суммы углов вокруг точки:

$$(240^{\circ} - (\angle 3 + \angle 4)) + (290^{\circ} - (\angle 3 + \angle 4)) + \angle 3 + \angle 4 = 360^{\circ}$$ $$240^{\circ} + 290^{\circ} - 2(\angle 3 + \angle 4) + \angle 3 + \angle 4 = 360^{\circ}$$ $$530^{\circ} - (\angle 3 + \angle 4) = 360^{\circ}$$ $$\angle 3 + \angle 4 = 530^{\circ} - 360^{\circ} = 170^{\circ}$$

Теперь найдем $$ \angle 1$$ и $$ \angle 2$$:

$$\angle 1 = 240^{\circ} - 170^{\circ} = 70^{\circ}$$ $$\angle 2 = 290^{\circ} - 170^{\circ} = 120^{\circ}$$

У нас есть $$ \angle 1$$ и $$ \angle 2$$, но не хватает информации, чтобы однозначно определить $$ \angle 3$$ и $$ \angle 4$$.

Без дополнительных данных нельзя точно найти значения $$ \angle 3$$ и $$ \angle 4$$.

---

Задача 3

Дано: $$ \angle 1 = 82^{\circ}$$, $$ \angle 2 = \angle 6$$, $$ \angle 4 = 132^{\circ}$$, $$ \angle 3 = \angle 5$$.

Найти: $$ \angle 8$$ и $$ \angle 7$$

Решение:

1) Найдем $$ \angle 3$$:

$$\angle 3 = 180^{\circ} - \angle 4 = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$$

Значит, $$ \angle 5 = 48^{\circ}$$ (так как $$ \angle 3 = \angle 5$$).

2) Найдем $$ \angle 7$$:

$$\angle 7 = \angle 5 = 48^{\circ}$$ (как соответственные углы при параллельных прямых).

3) Найдем $$ \angle 2$$:

$$\angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ}$$

Значит, $$ \angle 6 = 98^{\circ}$$ (так как $$ \angle 2 = \angle 6$$).

4) Найдем $$ \angle 8$$:

$$\angle 8 = \angle 6 = 98^{\circ}$$ (как соответственные углы при параллельных прямых).

Ответ: $$ \angle 8 = 98^{\circ}$$, $$ \angle 7 = 48^{\circ}$$