Найдите f'(0), если f(x) = g(x)/s(x), g(x)=2x-e^x, s(x)=x+1.

Решение:

Для начала найдём производную функции \( f(x) \) с помощью правила дифференцирования частного:

\[ f'(x) = \frac{g'(x)s(x) - g(x)s'(x)}{(s(x))^2} \]

Сначала найдём производные \( g(x) \) и \( s(x) \):

\[ g'(x) = \frac{d}{dx}(2x - e^x) = 2 - e^x \]\[ s'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \]

Теперь подставим эти производные в формулу для \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{(2 - e^x)(x + 1) - (2x - e^x)(1)}{(x + 1)^2} \]

Упростим выражение в числителе:

\[ f'(x) = \frac{2x + 2 - xe^x - e^x - 2x + e^x}{(x + 1)^2} \]\[ f'(x) = \frac{2 - xe^x}{(x + 1)^2} \]

Теперь найдём значение \( f'(0) \), подставив \( x = 0 \) в полученное выражение:

\[ f'(0) = \frac{2 - 0 \cdot e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{2 - 0}{1^2} = \frac{2}{1} = 2 \]

Ответ: 2.