Найдите f'(0), если f(x) = g(x) / s(x), g(x)=3x+e^x, s(x) = cosx+1

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) \) по правилу дифференцирования частного: \( f'(x) = \frac{g'(x)s(x) - g(x)s'(x)}{(s(x))^2} \).

Найдем производные функций \( g(x) \) и \( s(x) \):

• \( g'(x) = (3x + e^x)' = 3 + e^x \)
• \( s'(x) = (\cos x + 1)' = -\sin x \)

Теперь подставим производные и сами функции в формулу для \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{(3 + e^x)(\cos x + 1) - (3x + e^x)(-\sin x)}{(\cos x + 1)^2} \]

Теперь найдем значение \( f'(0) \), подставив \( x = 0 \) в полученное выражение:

• \( \cos 0 = 1 \)
• \( \sin 0 = 0 \)
• \( e^0 = 1 \)

Подставляем значения:

\[ f'(0) = \frac{(3 + 1)(1 + 1) - (3 \cdot 0 + 1)(0)}{(1 + 1)^2} = \frac{4 \cdot 2 - 1 \cdot 0}{2^2} = \frac{8 - 0}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

Ответ: 2