1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см. 2. Одна из сторон прямоугольника равна 16 см. Найдите вторую сторону прямоугольника и его диагональ, если их длины относятся как 3:5. 3. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба. 4. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями АС и BD диагональ BD равна 12, а угол А равен 45 градусов. Найдите большую сторону, если меньшее основание трапеции равно 6√3. В ответе напишите найденное значение, умноженное на √2.

Задание 1

Давай найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см. Воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

В нашем случае:

\[c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\]

\[c = \sqrt{169} = 13\]

Значит, гипотенуза равна 13 см.

Ответ: 13 см

Ты молодец! У тебя всё получится!

Задание 2

Одна из сторон прямоугольника равна 16 см. Пусть \( a = 16 \) см. Найдем вторую сторону \( b \) и диагональ \( d \), если их длины относятся как 3:5.

Из отношения сторон \( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \) можно выразить \( b \):

\[\frac{16}{b} = \frac{3}{5}\]

\[b = \frac{16 \cdot 5}{3} = \frac{80}{3} \approx 26.67 \text{ см}\]

Теперь найдем диагональ \( d \) по теореме Пифагора:

\[d^2 = a^2 + b^2 = 16^2 + \left(\frac{80}{3}\right)^2 = 256 + \frac{6400}{9} = \frac{2304 + 6400}{9} = \frac{8704}{9}\]

\[d = \sqrt{\frac{8704}{9}} = \frac{\sqrt{8704}}{3} \approx \frac{93.08}{3} \approx 31.03 \text{ см}\]

Итак, вторая сторона прямоугольника примерно 26.67 см, а диагональ примерно 31.03 см.

Ответ: Вторая сторона ≈ 26.67 см, диагональ ≈ 31.03 см

Отлично! Продолжай в том же духе!

Задание 3

Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Получается прямоугольный треугольник, где катеты — половины диагоналей, а гипотенуза — сторона ромба.

Пусть \( d_1 = 14 \) см и \( d_2 = 48 \) см. Тогда половинки диагоналей:

\[\frac{d_1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}\]

\[\frac{d_2}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}\]

Сторона ромба \( a \) равна:

\[a^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\]

\[a = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]

Значит, сторона ромба равна 25 см.

Ответ: 25 см

Прекрасно! Так держать!

Задание 4

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AC и BD диагональ BD равна 12, угол A равен 45 градусов. Меньшее основание трапеции равно \( 6\sqrt{3} \). Найдем большую сторону и умножим на \( \sqrt{2} \).

Опустим высоту BH на основание AC. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BAH равен 45 градусов, значит, треугольник ABH — равнобедренный и прямоугольный. Тогда AH = BH.

В прямоугольном треугольнике ABD:

\[\angle ABD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\]

Пусть AB = x. Тогда AH = x \( \cos 45^\circ = \frac{x}{\sqrt{2}} \). Также BH = x \( \sin 45^\circ = \frac{x}{\sqrt{2}} \). Так как BH = AD (высота трапеции), AD = \( \frac{x}{\sqrt{2}} \).

В прямоугольном треугольнике BHD:

\[BD^2 = BH^2 + HD^2\]

HD = AH - AC = AH - \( 6\sqrt{3} \). Но \( AH = \frac{x}{\sqrt{2}} \), так что \( HD = \frac{x}{\sqrt{2}} - 6\sqrt{3} \).

Тогда:

\[12^2 = \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{x}{\sqrt{2}} - 6\sqrt{3}\right)^2\]

\[144 = \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} - 12x\sqrt{\frac{3}{2}} + 108\]

\[144 = x^2 - 12x\sqrt{\frac{3}{2}} + 108\]

\[x^2 - 12x\sqrt{\frac{3}{2}} - 36 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Для упрощения положим \( k = \sqrt{\frac{3}{2}} \), тогда уравнение:

\[x^2 - 12kx - 36 = 0\]

Дискриминант:

\[D = (12k)^2 - 4(1)(-36) = 144k^2 + 144 = 144\left(\frac{3}{2}\right) + 144 = 216 + 144 = 360\]

\[x = \frac{12k \pm \sqrt{360}}{2} = \frac{12\sqrt{\frac{3}{2}} \pm 6\sqrt{10}}{2} = 6\sqrt{\frac{3}{2}} \pm 3\sqrt{10}\]

Так как x > 0, то выбираем положительный корень:

\[x = 6\sqrt{\frac{3}{2}} + 3\sqrt{10} \approx 6 \cdot 1.22 + 3 \cdot 3.16 \approx 7.32 + 9.48 = 16.8\]

\[AD = \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{\frac{3}{2}} + 3\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} \approx 3 \cdot 1.73 + 3 \cdot 2.24 = 5.19 + 6.72 = 11.91\]

Найденное значение умножаем на \( \sqrt{2} \):

\[AD \cdot \sqrt{2} = (3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6} + 3\sqrt{10} \approx 3 \cdot 2.45 + 3 \cdot 3.16 = 7.35 + 9.48 = 16.83\]

Большая сторона трапеции равна примерно 11.91 см, а найденное значение, умноженное на \( \sqrt{2} \), равно примерно 16.83.

Ответ: 3\(\sqrt{6}\) + 3\(\sqrt{10}\) ≈ 16.83

Отличная работа! У тебя всё получится!