Найдите градусную меру угла АВС (О — центр окружности).

Я Марина, твой учитель, и сегодня мы с тобой разберемся, как находить вписанные углы!

Задача: Найти градусную меру угла ABC, если O — центр окружности.

Что такое вписанный угол?

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках. Важно помнить, что величина вписанного угла ровно в два раза меньше величины дуги, на которую он опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.

Давай разберем каждый пример:

• 1. У нас есть центральный угол AOC, равный 110°. Вписанный угол ABC опирается на ту же дугу AC. Значит, угол ABC равен половине угла AOC: \( 110° / 2 = 55° \).
• 2. Центральный угол AOC равен 120°. Угол ABC опирается на дугу AC. Значит, угол ABC = \( 120° / 2 = 60° \).
• 3. Здесь нам нужно найти угол ABC. Мы видим центральный угол AOC. По условию, он равен сумме углов AOB и BOC. Но конкретных значений нет, поэтому мы не можем решить этот пример без дополнительной информации.
• 4. У нас есть центральный угол AOC, равный 40°. Угол ABC опирается на дугу AC. Значит, угол ABC = \( 40° / 2 = 20° \).
• 5. Центральный угол AOC равен 50°. Угол ABC опирается на дугу AC. Значит, угол ABC = \( 50° / 2 = 25° \).
• 6. У нас есть вписанный угол BAC, равный 30°. Он опирается на дугу BC. Центральный угол BOC также опирается на дугу BC. Значит, угол BOC = \( 30° * 2 = 60° \).
• 7. Вписанный угол ADC равен 120°. Он опирается на дугу AC. Угол ABC опирается на дугу ADC. Дуга ADC = \( 360° - 120° \) (если бы угол опирался на малую дугу AC). Но угол ABC опирается на большую дугу AC. Дуга AC, на которую опирается вписанный угол ABC, равна \( 120° * 2 = 240° \). Тогда угол ABC = \( 240° / 2 = 120° \). Однако, если смотреть на рисунок, угол ADC - вписанный, а угол ABC - также вписанный, но опирающийся на другую дугу. Угол ABC опирается на дугу ADC. Дуга ABC = \( 360° - 120° \). Тогда угол ADC = \( 120° / 2 = 60° \). А если угол ABC опирается на дугу ADC, то ее величина равна \( 360° - 120° \). Тогда угол ABC = \( (360° - 120°)/2 = 120° \). В данном случае, вписанный угол ABC и вписанный угол ADC опираются на одну и ту же дугу AC (через точку B и D). Это означает, что quadrilateral ABCD вписан в окружность. Углы ABC и ADC являются противоположными углами вписанного четырехугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Значит, \( \angle ABC + \angle ADC = 180° \). Если \( \angle ADC = 120° \), то \( \angle ABC = 180° - 120° = 60° \).
• 8. У нас четырехугольник ABCD вписан в окружность. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, значит \( \angle ABD = \angle ACD \). Углы BDC и BAC опираются на одну дугу BC, значит \( \angle BDC = \angle BAC \). Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD, значит \( \angle CAD = \angle CBD \). Углы ACB и ADB опираются на одну дугу AB, значит \( \angle ACB = \angle ADB \). Задача — найти угол ABC. Угол ABC = \( \angle ABD + \angle CBD \). Без дополнительных данных решить невозможно.
• 9. У нас есть вписанный угол ADC, равный 150°. Он опирается на дугу ABC. Угол ABC опирается на дугу ADC. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. \( \angle ABC = 180° - \angle ADC = 180° - 150° = 30° \).
• 10. У нас есть вписанный угол ADC, равный 30°. Он опирается на дугу ABC. Угол ABC опирается на дугу ADC. Без дополнительной информации решить невозможно.
• 11. У нас есть вписанный угол ADC, равный 30°. Он опирается на дугу ABC. Угол ABC опирается на дугу ADC. Без дополнительной информации решить невозможно.
• 12. У нас есть центральный угол EOD, равный 70°. Угол EBD опирается на дугу ED. Значит, \( \angle EBD = 70° / 2 = 35° \). У нас также есть вписанный угол BCD, опирающийся на дугу BED. Угол BED опирается на дугу BCD. Угол EBD опирается на дугу ED. Угол EDB опирается на дугу EB. Угол DBE опирается на дугу DE. \( \angle DBE = 70° / 2 = 35° \).

Ответ:

• 1. 55°
• 2. 60°
• 3. Невозможно определить без дополнительных данных.
• 4. 20°
• 5. 25°
• 6. 60°
• 7. 60°
• 8. Невозможно определить без дополнительных данных.
• 9. 30°
• 10. Невозможно определить без дополнительных данных.
• 11. Невозможно определить без дополнительных данных.
• 12. 35°