Найдите графически число решений системы уравнений { y = x² + 1, xy = 3. }

Решение:

Для нахождения числа решений системы уравнений графически, нам нужно построить графики обеих функций и найти точки их пересечения.

• Первая функция:

  \[ y = x^2 + 1 \]

  Это парабола с вершиной в точке (0, 1), ветви которой направлены вверх.

• Вторая функция:

  \[ xy = 3 \]

  Это гипербола. Можно преобразовать ее в вид \[ y = \frac{3}{x} \] . График гиперболы расположен в первой и третьей четвертях, асимптоты — оси координат.

Построение графика:

Анализ графика:

При построении графиков мы видим, что парабола \[ y = x^2 + 1 \] и гипербола \[ y = \frac{3}{x} \] пересекаются в двух точках. Одна точка находится в первой четверти (где x > 0, y > 0), а другая — в третьей четверти (где x < 0, y < 0).

Для более точного определения числа решений можно подставить одну функцию в другую:

• \[ x(x^2 + 1) = 3 \]
• \[ x^3 + x - 3 = 0 \]

Это кубическое уравнение. Наличие двух точек пересечения на графике означает, что у этого кубического уравнения есть два действительных корня.

Ответ: 2