Найдите х, у. 1 B E x 6 10 C 12 F y A 2 M 8 L x y 10 N 21 K

Решение:

1. Рассмотрим рисунок 1. Т.к. $$BC \perp CA$$ и $$EF \perp FA$$, то $$BC \parallel EF$$. Следовательно, $$\triangle BCA \sim \triangle EFA$$ по двум углам ($$\angle A$$ общий, $$\angle BCA = \angle EFA = 90^\circ$$).

Запишем отношение соответственных сторон:

$$\frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FA}$$

$$\frac{x}{6} = \frac{12 + y}{y}$$

Также, $$\triangle AFE$$ - прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

$$AE^2 = EF^2 + FA^2$$

$$10^2 = 6^2 + y^2$$

$$100 = 36 + y^2$$

$$y^2 = 64$$

$$y = 8$$

Подставим найденное значение y в первое уравнение:

$$\frac{x}{6} = \frac{12 + 8}{8}$$

$$\frac{x}{6} = \frac{20}{8}$$

$$x = \frac{20 \cdot 6}{8} = \frac{120}{8} = 15$$

2. Рассмотрим рисунок 2. По условию, $$\triangle MNK$$ и $$\triangle NLK$$ имеют общий угол $$\angle N$$, а также $$\frac{MN}{NL} = \frac{NK}{LK} = \frac{21}{10}$$

Значит, $$\triangle MNK \sim \triangle LNK$$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно,

$$\frac{MK}{ML} = \frac{NK}{NL}$$

$$\frac{MK}{8} = \frac{21}{10}$$

$$MK = \frac{21 \cdot 8}{10} = \frac{168}{10} = 16.8$$

Тогда, $$x = MN = MK - NK = 16.8 - 8 = 8.8$$

По теореме косинусов, из $$\triangle MNK$$ имеем:

$$MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos{\angle N}$$

$$16.8^2 = 8.8^2 + 21^2 - 2 \cdot 8.8 \cdot 21 \cdot \cos{\angle N}$$

$$282.24 = 77.44 + 441 - 369.6 \cdot \cos{\angle N}$$

$$369.6 \cdot \cos{\angle N} = 236.2$$

$$\cos{\angle N} = \frac{236.2}{369.6} \approx 0.639$$

Теперь, из $$\triangle LNK$$ по теореме косинусов имеем:

$$LK^2 = NL^2 + NK^2 - 2 \cdot NL \cdot NK \cdot \cos{\angle N}$$

$$10^2 = y^2 + 21^2 - 2 \cdot y \cdot 21 \cdot 0.639$$

$$100 = y^2 + 441 - 26.838y$$

$$y^2 - 26.838y + 341 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 26.838^2 - 4 \cdot 1 \cdot 341 = 720.27 - 1364 = -643.73$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Значит, в условии задачи допущена ошибка, и указанные треугольники не подобны.

Ответ: 1. $$x = 15$$, $$y = 8$$; 2. Нет решения, в условии ошибка.