Найдите х, у. 1 N 8. x y 45° M y 30° K 2 Q 50° y 13 R M 80° x L 3 K x 20 M 45° y 60% T 4 S 12 y K 60° P 45° x

Решение задач на нахождение неизвестных сторон и углов треугольника с использованием теоремы синусов и других тригонометрических соотношений.

Задача 1:

В треугольнике MNK даны: MN = 8, ∠M = 45°, ∠K = 30°. Необходимо найти x (NK) и y (MK).

Используем теорему синусов:

$$\frac{MN}{\sin K} = \frac{NK}{\sin M} = \frac{MK}{\sin N}$$

Сначала найдем угол N:

$$\angle N = 180° - \angle M - \angle K = 180° - 45° - 30° = 105°$$

Теперь найдем x (NK):

$$\frac{8}{\sin 30°} = \frac{x}{\sin 45°}$$ $$\frac{8}{0.5} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$x = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.5} = \frac{4\sqrt{2}}{0.5} = 8\sqrt{2}$$

Теперь найдем y (MK):

$$\frac{8}{\sin 30°} = \frac{y}{\sin 105°}$$

Синус 105° можно выразить как sin(60° + 45°):

$$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ $$\frac{8}{0.5} = \frac{y}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$ $$y = \frac{8 \cdot (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{0.5} = \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{0.5} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$

Ответ: $$x = 8\sqrt{2}$$, $$y = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$

---

Задача 2:

В треугольнике даны углы и сторона. Q = 50°, R = 80°, QR = 13. Необходимо найти LM(x) и QM(y).

Найдем третий угол L:

$$L = 180° - 50° - 80° = 50°$$

Применим теорему синусов:

$$\frac{QR}{\sin L} = \frac{LM}{\sin Q} = \frac{QM}{\sin R}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{13}{\sin 50°} = \frac{x}{\sin 50°} = \frac{y}{\sin 80°}$$

Найдем x:

$$\frac{13}{\sin 50°} = \frac{x}{\sin 50°}$$ $$x = 13$$

Найдем y:

$$\frac{13}{\sin 50°} = \frac{y}{\sin 80°}$$ $$y = \frac{13 \cdot \sin 80°}{\sin 50°}$$ $$y \approx \frac{13 \cdot 0.9848}{0.7660} \approx 16.67$$

Ответ: $$x = 13$$, $$y \approx 16.67$$

---

Задача 3:

В треугольнике MKT даны: MK = 20, ∠M = 45°, ∠T = 60°. Необходимо найти KT (x) и MT (y).

Найдем угол K:

$$\angle K = 180° - 45° - 60° = 75°$$

Применим теорему синусов:

$$\frac{MK}{\sin T} = \frac{KT}{\sin M} = \frac{MT}{\sin K}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{20}{\sin 60°} = \frac{x}{\sin 45°} = \frac{y}{\sin 75°}$$

Найдем x:

$$\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$x = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3}$$

Найдем y:

$$\frac{20}{\sin 60°} = \frac{y}{\sin 75°}$$

Синус 75° можно выразить как sin(45° + 30°):

$$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ $$\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{y}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$ $$y = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{10(\sqrt{18} + \sqrt{6})}{3} = \frac{10(3\sqrt{2} + \sqrt{6})}{3}$$

Ответ: $$x = \frac{20\sqrt{6}}{3}$$, $$y = \frac{10(3\sqrt{2} + \sqrt{6})}{3}$$

---

Задача 4:

В треугольнике даны две стороны и угол. SK = y, SP = 12, KP = x, ∠K = 60°, ∠P = 45°.

Найдем угол S:

$$\angle S = 180° - 60° - 45° = 75°$$

Применим теорему синусов:

$$\frac{SP}{\sin K} = \frac{SK}{\sin P} = \frac{KP}{\sin S}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{12}{\sin 60°} = \frac{y}{\sin 45°} = \frac{x}{\sin 75°}$$

Найдем y:

$$\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{y}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$y = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{6}$$

Найдем x:

$$\frac{12}{\sin 60°} = \frac{x}{\sin 75°}$$ $$\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$ $$x = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{6(\sqrt{18} + \sqrt{6})}{3} = 2(3\sqrt{2} + \sqrt{6})$$

Ответ: $$x = 2(3\sqrt{2} + \sqrt{6})$$, $$y = 4\sqrt{6}$$