Найдите х, y, z.

Решим задачи по геометрии на подобие треугольников. 1. Дано: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, B₁C₁ = 18, AB = x, BC = 28, A₁B₁ = 21. Найти: x. Решение: Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Составим отношение: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$$ $$\frac{x}{21} = \frac{28}{18}$$ $$x = \frac{28 \cdot 21}{18} = \frac{14 \cdot 7}{3} = \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3}$$ Ответ: $$x = 32\frac{2}{3}$$. 2. Дано: ΔMNK ~ ΔM₁N₁K₁, N₁K₁ : NK = 2 : 1, NM = 4, MK = 6, NK = 7. M₁N₁ = z, M₁K₁ = x, N₁K₁ = y Найти: x, y, z. Решение: Т.к. ΔMNK ~ ΔM₁N₁K₁, то можно записать отношения: $$\frac{M_1N_1}{MN} = \frac{M_1K_1}{MK} = \frac{N_1K_1}{NK} = 2$$ Тогда получим: $$\frac{z}{4} = 2 \Rightarrow z = 8$$ $$\frac{x}{6} = 2 \Rightarrow x = 12$$ $$\frac{y}{7} = 2 \Rightarrow y = 14$$ Ответ: x = 12, y = 14, z = 8. 3. Дано: ΔKLM ~ ΔK₁L₁M₁, KL : LM : KM = 6 : 7 : 5, L₁M₁ = 21. Найти: x, y. Решение: Пусть KL = 6a, LM = 7a, KM = 5a. Тогда K₁L₁ = x, K₁M₁ = y. $$\frac{K_1L_1}{KL} = \frac{L_1M_1}{LM} = \frac{K_1M_1}{KM}$$ $$\frac{x}{6a} = \frac{21}{7a} = \frac{y}{5a}$$ $$\frac{x}{6a} = \frac{21}{7a} \Rightarrow x = \frac{6a \cdot 21}{7a} = 18$$ $$\frac{y}{5a} = \frac{21}{7a} \Rightarrow y = \frac{5a \cdot 21}{7a} = 15$$ Ответ: x = 18, y = 15. 4. Дано: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, PΔABC = 36, A₁B₁ = 12, B₁C₁ = 18, A₁C₁ = 24. Найти: x, y, z. Решение: PΔA₁B₁C₁ = A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁ = 12 + 18 + 24 = 54. Так как треугольники подобны, то их периметры относятся как соответствующие стороны: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle A_1B_1C_1}}$$ $$\frac{x}{12} = \frac{y}{18} = \frac{z}{24} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{x}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 2}{3} = 8$$ $$\frac{y}{18} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12$$ $$\frac{z}{24} = \frac{2}{3} \Rightarrow z = \frac{24 \cdot 2}{3} = 16$$ Ответ: x = 8, y = 12, z = 16. 5. Дано: ΔQMR ~ ΔQ₁M₁R₁, PΔQ₁M₁R₁ = 110, QM = 2, MR = 4, QR = 5. Найти: x, y, z. (Q₁M₁ = x, M₁R₁ = z, Q₁R₁ = y). Решение: Пусть коэффициент подобия равен k, тогда: $$\frac{Q_1M_1}{QM} = \frac{M_1R_1}{MR} = \frac{Q_1R_1}{QR} = k$$ x = 2k, z = 4k, y = 5k. Периметр ΔQ₁M₁R₁ равен P = x + y + z = 2k + 4k + 5k = 11k. Известно, что P = 110, тогда 11k = 110, k = 10. Значит, x = 2 * 10 = 20, z = 4 * 10 = 40, y = 5 * 10 = 50. Ответ: x = 20, y = 50, z = 40. 6. Дано: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, AB : BC : AC = 6 : 4 : 3, PΔA₁B₁C₁ = 91. Найти: x, y, z. (A₁B₁ = y, B₁C₁ = z, A₁C₁ = x) Решение: Пусть A₁B₁ = 6k, B₁C₁ = 4k, A₁C₁ = 3k. Тогда периметр ΔA₁B₁C₁ равен P = 6k + 4k + 3k = 13k. Известно, что P = 91, значит 13k = 91, k = 7. Значит, y = 6 * 7 = 42, z = 4 * 7 = 28, x = 3 * 7 = 21. Ответ: x = 21, y = 42, z = 28. 7. Дано: ΔMKN ~ ΔM₁K₁N₁, MK : KN : MN = 9 : 7 : 8, x + y = 48. Найти: x, y, z. (M₁K₁ = z, K₁N₁ = y, M₁N₁ = x) Решение: Пусть коэффициент подобия равен k, тогда MK = 9a, KN = 7a, MN = 8a. M₁K₁ = z, K₁N₁ = y, M₁N₁ = x. \ $$\frac{M_1K_1}{MK} = \frac{K_1N_1}{KN} = \frac{M_1N_1}{MN} \Rightarrow \frac{z}{9a} = \frac{y}{7a} = \frac{x}{8a} = k$$ x = 8ak, y = 7ak, z = 9ak. По условию x + y = 48, тогда 8ak + 7ak = 15ak = 48, ak = 48/15 = 16/5. \ Тогда, x = 8 * (16/5) = 128/5 = 25.6. y = 7 * (16/5) = 112/5 = 22.4. z = 9 * (16/5) = 144/5 = 28.8. Ответ: x = 25.6, y = 22.4, z = 28.8. 8. Дано: ΔMKN ~ ΔM₁K₁N₁, MK : KN : MN = 9 : 7 : 8, x - y = 6. Найти: x, y, z. (M₁K₁ = z, K₁N₁ = y, M₁N₁ = x) Решение: Пусть коэффициент подобия равен k, тогда MK = 9a, KN = 7a, MN = 8a. M₁K₁ = z, K₁N₁ = y, M₁N₁ = x. \ $$\frac{M_1K_1}{MK} = \frac{K_1N_1}{KN} = \frac{M_1N_1}{MN} \Rightarrow \frac{z}{9a} = \frac{y}{7a} = \frac{x}{8a} = k$$ x = 8ak, y = 7ak, z = 9ak. По условию x - y = 6, тогда 8ak - 7ak = ak = 6. \ Тогда, x = 8 * 6 = 48. y = 7 * 6 = 42. z = 9 * 6 = 54. Ответ: x = 48, y = 42, z = 54.