1) Город Тобольск привлекает как необычной красотой, так и богатой историей.
Ошибка: неправильное употребление союза. Следует использовать союз "не только, но и".
Исправленный вариант: Город Тобольск привлекает не только необычной красотой, но и богатой историей.
2) Тобольск вырастил для России не только химика Д. Менделеева, а также поэта-сказочника П. Ершова – автора бессмертного «Конька-Горбунка».
Предложение верное.
3) Восхищаясь красотой вечернего Тобольска, наш разговор был оживлённым.
Ошибка: деепричастный оборот употреблен неверно.
Исправленный вариант: Когда мы восхищались красотой вечернего Тобольска, наш разговор был оживлённым.
4) Тобольский кремль, считающийся одним из самых красивых в России, расположен на вершине холма.
Предложение верное.