Разберем каждое предложение и найдем ошибки.
1) «Кижи — это не только памятник деревянного зодчества, а также остров в Онежском озере.»
* Ошибка в построении предложения. Фраза "а также остров в Онежском озере" звучит нелогично. Необходимо перефразировать.
* Исправленный вариант: "Кижи – это не только памятник деревянного зодчества, но и уникальный остров, расположенный на Онежском озере."
2) «Закончив строительство Преображенской церкви в Кижах, топор был брошен мастером Нестором в Онежское озеро.»
* Ошибка в построении деепричастного оборота. Действие, выраженное деепричастием, должно относиться к подлежащему. В данном случае получается, что топор закончил строительство.
* Исправленный вариант: "Закончив строительство Преображенской церкви в Кижах, мастер Нестор бросил топор в Онежское озеро." Или: "Когда строительство Преображенской церкви в Кижах было закончено, мастер Нестор бросил топор в Онежское озеро."
3) «Большинство предметов быта XVI-XVIII веков собрано в музее острова.»
* В данном предложении нет ошибки. Оно грамматически и стилистически корректно.
4) «Первым экспонатом, привезённым на остров Кижи, стал деревянный дом крестьянина Нестора Ошевнева.»
* В данном предложении нет ошибки. Оно грамматически и стилистически корректно.
**Ответ:**
1) Кижи – это не только памятник деревянного зодчества, но и уникальный остров, расположенный на Онежском озере.
2) Закончив строительство Преображенской церкви в Кижах, мастер Нестор бросил топор в Онежское озеро.