1) Голоса «дикий кот попался» разбудили автора. – Здесь нужно убрать кавычки, т.к. это не прямая речь, а название.
Исправленный вариант: Голоса «Дикий кот попался» разбудили автора.
2) Лёжа без движения, кот даже не притронулся к еде. – Здесь ошибка в построении предложения с деепричастным оборотом. Действие, выраженное деепричастием, должно относиться к подлежащему. В данном случае получается, что «лежал» кот.
Исправленный вариант: Кот, лёжа без движения, даже не притронулся к еде.
3) Переживая за кота, к нему была посажена курица. – Ошибка в построении предложения. Действие деепричастного оборота и сказуемого должно относиться к одному лицу.
Исправленный вариант: Переживая за кота, он посадил к нему курицу.
4) Курицу, которая осталась живой, отпустили. – Ошибок нет.