Найдите интеграл \(\int \frac{dx}{4x^2+1-4x}\)

Решение:

• Для решения интеграла \( \int \frac{dx}{4x^2+1-4x} \) преобразуем знаменатель: \( 4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2 \).
• Теперь интеграл имеет вид: \( \int \frac{dx}{(2x-1)^2} \).
• Сделаем замену переменной: пусть \( u = 2x-1 \), тогда \( du = 2dx \), откуда \( dx = \frac{1}{2}du \).
• Подставляем в интеграл: \( \int \frac{\frac{1}{2}du}{u^2} = \frac{1}{2} \int u^{-2}du \).
• Интегрируем: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C \).
• Возвращаемся к исходной переменной, подставляя \( u = 2x-1 \): \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C = \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• Среди предложенных вариантов нет точного совпадения. Однако, если рассмотреть вариант \( -\frac{1}{2x-1} + C \), это соответствует \( \frac{1}{1-2x} + C \).
• Сравним полученный ответ с вариантами:
• \( 4x^2-4x+1+C \) - неверно
• \( -\frac{1}{(2x-1)^3} + C \) - неверно, это результат интегрирования \( u^{-3} \)
• \( -\frac{1}{2x-1} + C \) - неверно, не хватает множителя 1/2.
• \( \frac{1}{2-4x} + C \) - неверно, при раскрытии скобок получается \( \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• Если предположить, что в задании была опечатка и искали интеграл \( \int \frac{dx}{(2x-1)^2} \), то правильный ответ \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C \).
• Однако, если внимательно посмотреть на варианты, то \( -\frac{1}{2x-1} + C \) является наиболее близким, если предположить, что константа \( C \) включает множитель 1/2.
• Перепишем \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C \) как \( -\frac{1}{4x-2} + C \).
• Рассмотрим предложенный вариант \( -\frac{1}{2x-1} + C \). Этот вариант получается, если бы мы проинтегрировали \( \int \frac{dx}{2x-1} \) и забыли бы про степень.
• Пересмотрим вариант \( -\frac{1}{2x-1} + C \) и \( \frac{1}{2-4x} + C \).
• \( \frac{1}{2-4x} + C = \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• Если мы проинтегрируем \( \int \frac{dx}{(2x-1)^2} \), то получим \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C \).
• Среди вариантов есть \( -\frac{1}{2x-1} + C \) и \( \frac{1}{2-4x} + C \).
• \( \frac{1}{2-4x} + C = \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• \( -\frac{1}{2x-1} + C = \frac{1}{1-2x} + C \).
• Наш результат: \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C = \frac{-1}{4x-2} + C \).
• Сравнивая с вариантом \( \frac{1}{2-4x} + C \), мы видим, что \( \frac{1}{2-4x} + C = \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• Наш результат: \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C = \frac{-1}{4x-2} + C \).
• Если выбрать вариант \( -\frac{1}{2x-1} + C \), это было бы \( \frac{1}{1-2x} + C \).
• Если выбрать вариант \( \frac{1}{2-4x} + C \), это было бы \( \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• Правильный ответ после интегрирования \( \int \frac{dx}{(2x-1)^2} \) равен \( -\frac{1}{2(2x-1)} + C \).
• Исходя из предложенных вариантов, ни один не является точным. Однако, если предположить, что в варианте \( -\frac{1}{2x-1} + C \) пропущена константа \( 1/2 \), то этот вариант будет наиболее близок.
• Правильный ответ: \( \frac{1}{2(1-2x)} + C \).
• Среди вариантов есть \( \frac{1}{2-4x} + C \) который равен \( \frac{1}{2(1-2x)} + C \).

Ответ: \( \frac{1}{2-4x} + C \)