Найдите интегралы: ∫(3x-3 + 4³/x + 2e²)dx (36), ∫ 5x sin(-2x² - 1) dx (36) 2. Вычислите определенные интегралы: 2x+3 dx (36), ∫01 3(x²+2x+2) dx (36) 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3 cos 2x, у = 3,0 ≤ x ≤ (36) Часть 2 -2x-1 1. Найдите интегралы: -artex-5x dx (56), ∫ (x+2)(x-1) dx (56) 1+x2 2. Вычислите определенные интегралы: 3xx² + 2dx (56), [² (x²-) ln(1+x) dx (56) 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 2, у=-√x + 1 + 1, y = 0 (56)

Часть 1

1. Краткое пояснение: Для нахождения интегралов используем свойства интегралов и табличные значения.

   ∫(3x^-3 + 4∛x + 2e²)dx = 3∫x^-3dx + 4∫x^1/3dx + 2e²∫dx =

   = 3 * (x^-2 / (-2)) + 4 * (x^4/3 / (4/3)) + 2e²x + C = -3/(2x²) + 3∛(x⁴) + 2e²x + C

   ∫5x sin(-2x² - 1) dx = -5/4 ∫sin(-2x² - 1) d(-2x² - 1) = 5/4 cos(-2x² - 1) + C

2. Краткое пояснение: Для вычисления определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница.

   ∫₋₂⁻¹ (4 - 2x)/(2x + 3) dx = ∫₋₂⁻¹ (-2x - 3 + 7)/(2x + 3) dx = ∫₋₂⁻¹ (-1 + 7/(2x + 3)) dx =

   = [-x + 7/2 ln|2x + 3|]₋₂⁻¹ = (1 + 7/2 ln|1|) - (2 + 7/2 ln|-1|) = -1 + 7/2 * 0 - 2 - 7/2 * 0 = -1

   ∫₀¹ 1/(3(x² + 2x + 2)) dx = 1/3 ∫₀¹ 1/((x + 1)² + 1) dx = 1/3 [arctan(x + 1)]₀¹ = 1/3 (arctan(2) - arctan(1)) = 1/3 arctan(2) - π/12

3. Краткое пояснение: Для вычисления площади фигуры используем определенный интеграл.

   Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 cos 2x, y = 3, 0 ≤ x ≤ π/3:

   S = ∫₀^(π/3) |3 cos 2x - 3| dx = 3∫₀^(π/3) |cos 2x - 1| dx = 3∫₀^(π/3) (1 - cos 2x) dx =

   = 3[x - 1/2 sin 2x]₀^(π/3) = 3((π/3 - 1/2 sin(2π/3)) - (0 - 1/2 sin 0)) = 3(π/3 - 1/2 * √3/2) = π - (3√3)/4

Часть 2

1. Краткое пояснение: Для нахождения интегралов используем свойства интегралов и табличные значения.

   ∫(-arctan(x) - 5x)/(1 + x²) dx = -∫arctan(x)/(1 + x²) dx - 5∫x/(1 + x²) dx =

   = -1/2 ∫arctan(x) d(arctan(x)) - 5/2 ∫1/(1 + x²) d(1 + x²) = -1/2 (arctan(x))² - 5/2 ln|1 + x²| + C

   ∫(-2x - 1)/((x + 2)(x - 1)) dx = ∫((-2x - 1)/(x² + x - 2)) dx = -∫((x² + x - 2)/(x² + x - 2) + (-x + 1)/(x² + x - 2)) dx =

   = -∫(1 + (-x + 1)/(x² + x - 2)) dx = -∫dx - ∫((-x + 1)/(x² + x - 2)) dx

2. Краткое пояснение: Для вычисления определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница.

   ∫₀¹ 3x√(x² + 2) dx = 3/2 ∫₀¹ √(x² + 2) d(x²) = 3/2 ∫₀¹ √(x² + 2) d(x² + 2) = [3/2 * 2/3 (x² + 2)^3/2]₀¹ =

   = [(x² + 2)^3/2]₀¹ = (1 + 2)^3/2 - (0 + 2)^3/2 = 3√3 - 2√2

   ∫₀¹ (x² - 1/3) ln(1 + x) dx

3. Краткое пояснение: Для вычисления площади фигуры используем определенный интеграл.

   Площадь фигуры, ограниченной линиями y = (2 - x)/3, y = -√(x + 1) + 1, y = 0