Найдите k, чтобы f была непрерывна при x = 2: f(x) = {x^2 + k, x < 2; 2x + 5, x >= 2}

Решение:

Функция \( f(x) \) будет непрерывна в точке \( x = 2 \), если пределы слева и справа равны значению функции в этой точке.

1. Найдем предел функции слева при \( x \) стремящемся к 2:

\[ \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x^2 + k) = 2^2 + k = 4 + k \]

2. Найдем предел функции справа при \( x \) стремящемся к 2:

\[ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (2x + 5) = 2 \cdot 2 + 5 = 4 + 5 = 9 \]

3. Значение функции в точке \( x = 2 \) равно:

\[ f(2) = 2 \cdot 2 + 5 = 9 \]

4. Чтобы функция была непрерывной, пределы слева и справа должны быть равны:

\[ 4 + k = 9 \]

5. Решим уравнение относительно \( k \):

\[ k = 9 - 4 \]

\( k = 5 \)

Ответ: k = 5.