Найдите k, чтобы lim f(x) = lim f(x) для f(x) = { kx+2 x<: x²+2 x≥: }

Решение:

Чтобы пределы слева и справа функции в точке \( x=2 \) были равны, нужно приравнять значения функций, так как одна функция определена для \( x < 2 \), а другая для \( x \ge 2 \).

Предел слева:

\[ \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (kx + 2) = k \cdot 2 + 2 = 2k + 2 \]

Предел справа:

\[ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^2 + 2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \]

Приравниваем пределы:

\[ 2k + 2 = 6 \]

Решаем уравнение:

\[ 2k = 6 - 2 \]

\( 2k = 4 \)

\( k = \frac{4}{2} \)

\( k = 2 \)

Ответ: k = 2