Найдите касательную к f(x) = x² + 3 в точке x = 3

Решение:

Чтобы найти касательную к функции \( f(x) = x^2 + 3 \) в точке \( x = 3 \), нам нужно найти значение функции и её производной в этой точке.

1. Найдём значение функции в точке \( x = 3 \):
   \( f(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \).
   Таким образом, точка касания имеет координаты \( (3, 12) \).
2. Найдём производную функции \( f(x) \):
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x \).
3. Найдём значение производной в точке \( x = 3 \) (это будет угловой коэффициент касательной):
   \( f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \).
4. Составим уравнение касательной, используя формулу \( y - y_1 = m(x - x_1) \), где \( (x_1, y_1) = (3, 12) \) и \( m = 6 \):
   \( y - 12 = 6(x - 3) \)
   \( y - 12 = 6x - 18 \)
   \( y = 6x - 18 + 12 \)
   \( y = 6x - 6 \)

Ответ: Уравнение касательной к функции \( f(x) = x^2 + 3 \) в точке \( x = 3 \) равно \( y = 6x - 6 \).