2 Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 13 дм, а площадь данного треугольника равна 20 дм².

Пусть один катет равен $$a$$, другой катет равен $$b$$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $$S = \frac{1}{2}ab$$. Из условия задачи известно, что:

1. $$a + b = 13$$
2. $$S = \frac{1}{2}ab = 20$$.

Выразим $$b$$ из первого уравнения: $$b = 13 - a$$. Подставим это во второе уравнение:

$$\frac{1}{2}a(13 - a) = 20$$

$$a(13 - a) = 40$$

$$13a - a^2 = 40$$

$$a^2 - 13a + 40 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$$

$$D > 0$$, значит, уравнение имеет два корня:

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Если $$a = 8$$ дм, то $$b = 13 - 8 = 5$$ дм.

Если $$a = 5$$ дм, то $$b = 13 - 5 = 8$$ дм.

Ответ: 5 дм и 8 дм.