Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4см меньше другого, а гипотенуза равна 20см.

Решение:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(x\) и \(y\), а гипотенузу как \(c\).

По условию задачи:

• Один катет на 4 см меньше другого: \(x = y - 4\)
• Гипотенуза равна 20 см: \(c = 20\)

Используем теорему Пифагора: \(x^2 + y^2 = c^2\).

Подставим известные значения:

\((y-4)^2 + y^2 = 20^2\)

Раскроем скобки:

\(y^2 - 8y + 16 + y^2 = 400\)

Приведём подобные члены:

\(2y^2 - 8y + 16 - 400 = 0\)

\(2y^2 - 8y - 384 = 0\)

Разделим всё уравнение на 2:

\(y^2 - 4y - 192 = 0\)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \]

Найдём значение \(y\):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{4 \pm 28}{2} \]

Получаем два возможных значения для \(y\):

\[ y_1 = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ y_2 = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, отбрасываем \(y_2\).

Значит, один катет \(y = 16\) см.

Теперь найдём второй катет \(x\):

\(x = y - 4 = 16 - 4 = 12\) см.

Проверим по теореме Пифагора: \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\), \(20^2 = 400\). Всё верно.

Ответ: катеты треугольника равны 12 см и 16 см.