Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 6 см меньше другого, а гипотенуза равна 30 см.

Решение:

Пусть один катет равен \( x \) см. Тогда другой катет равен \( x + 6 \) см.

По теореме Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза.

Составим уравнение:

\[ x^2 + (x + 6)^2 = 30^2 \]

\[ x^2 + (x^2 + 12x + 36) = 900 \]

\[ 2x^2 + 12x + 36 - 900 = 0 \]

\[ 2x^2 + 12x - 864 = 0 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x^2 + 6x - 432 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42 \)

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, то \( x = 18 \) см.

Один катет равен 18 см, а другой — \( 18 + 6 = 24 \) см.

Ответ: 18 см и 24 см.