Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см. Число 7 является корнем уравнения л² + рх - 42 = 0. Найдите значе ние р и второй корень уравнения.

Решим задачу по геометрии:

Пусть x - длина одного катета, тогда (x - 14) - длина другого катета. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x - 14)^2 = 34^2$$

$$x^2 + x^2 - 28x + 196 = 1156$$

$$2x^2 - 28x - 960 = 0$$

$$x^2 - 14x - 480 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$$

$$\sqrt{D} = 46$$

$$x_1 = \frac{14 + 46}{2} = \frac{60}{2} = 30$$

$$x_2 = \frac{14 - 46}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Один катет равен 30 см, тогда другой катет равен 30 - 14 = 16 см.

Решим уравнение:

$$x^2 + px - 42 = 0$$

Так как число 7 является корнем, подставим его в уравнение:

$$7^2 + 7p - 42 = 0$$

$$49 + 7p - 42 = 0$$

$$7p + 7 = 0$$

$$7p = -7$$

$$p = -1$$

Теперь уравнение имеет вид: $$x^2 - x - 42 = 0$$

Найдем второй корень уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:

$$x_1 + x_2 = -p = 1$$

$$x_1 \cdot x_2 = -42$$

Известно, что $$x_1 = 7$$, поэтому

$$7 + x_2 = 1$$

$$x_2 = 1 - 7 = -6$$

Значение p = -1, второй корень уравнения равен -6.

Ответ: катеты: 30 см и 16 см; p = -1, второй корень: -6.