4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а гипотенуза равна 13 см.

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен (x + 7) см. Гипотенуза равна 13 см. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$$

$$x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$$

$$2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0$$

$$2x^2 + 14x - 120 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x^2 + 7x - 60 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то $$x = 5$$ см.

Тогда другой катет равен $$x + 7 = 5 + 7 = 12$$ см.

Ответ: 5 см, 12 см.