Найдите количество корней уравнения 2sin³x = √2cos²x + 2sinx, принадлежащих отрезку [\( -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \)].

Решение:

Дано уравнение: \( 2\sin^3 x = \sqrt{2\cos^2 x} + 2\sin x \) на отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \).

Упростим выражение под корнем:

\( \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} \sqrt{\cos^2 x} = \sqrt{2} |\cos x| \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 2\sin^3 x = \sqrt{2} |\cos x| + 2\sin x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 2\sin^3 x - 2\sin x = \sqrt{2} |\cos x| \)

Вынесем общий множитель:

\( 2\sin x (\sin^2 x - 1) = \sqrt{2} |\cos x| \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x \).

\( 2\sin x (-\cos^2 x) = \sqrt{2} |\cos x| \)

\( -2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} |\cos x| \)

Рассмотрим два случая в зависимости от знака \( \cos x \).

Случай 1: \( \cos x \ge 0 \) (тогда \( |\cos x| = \cos x \)).

\( -2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} \cos x \)

\( -2\sin x \cos^2 x - \sqrt{2} \cos x = 0 \)

\( \cos x (-2\sin x \cos x - \sqrt{2}) = 0 \)

Это даёт два подслучая:

Подслучай 1.1: \( \cos x = 0 \)

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \).

Подставим в исходное уравнение: \( 2(\pm 1)^3 = \sqrt{2} \cdot 0 + 2(\pm 1) \) → \( \pm 2 = \pm 2 \). Уравнение выполняется.

Нам нужно найти корни на отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \) где \( \cos x \ge 0 \).

\( -4\pi = -8\frac{\pi}{2} \), \( -2.5\pi = -5\frac{\pi}{2} \).

Интервал: \( [-8\frac{\pi}{2}, -5\frac{\pi}{2}] \).

Значения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) попадают в этот интервал при:

• \( k = -5 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -4.5\pi = -9\frac{\pi}{2} \) (не попадает)
• \( k = -4 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -3.5\pi = -7\frac{\pi}{2} \) (не попадает)
• \( k = -3 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -2.5\pi = -5\frac{\pi}{2} \) (попадает, \( \cos(-\frac{5\pi}{2})=0 \))
• \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -1.5\pi = -3\frac{\pi}{2} \) (не попадает)
• \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{2} - \pi = -0.5\pi = -1\frac{\pi}{2} \) (не попадает)

На отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \), \( \cos x \ge 0 \) на интервалах \( [-\frac{7\pi}{2}, -3\pi] \) и \( [-\pi, 0] \) (и периодах). Учитывая заданный отрезок, \( \cos x \ge 0 \) на \( [-4\pi, -3.5\pi] \) и \( [-3\pi, -2.5\pi] \).

При \( x = -5\frac{\pi}{2} \), \( \cos x = 0 \) (попадает).

При \( x = -3\pi \) (здесь \( \cos x = -1 \), не подходит под случай 1).

При \( x = -7\frac{\pi}{2} \), \( \cos x = 0 \) (попадает).

При \( x = -4\pi \), \( \cos x = 1 \) (попадает).

Итак, корни из \( \cos x = 0 \) на отрезке: \( -5\frac{\pi}{2} \), \( -7\frac{\pi}{2} \), \( -4\pi \).

Проверим условие \( \cos x \ge 0 \) для этих точек:

• \( x = -5\frac{\pi}{2} \): \( \cos(-\frac{5\pi}{2}) = 0 \ge 0 \) (подходит)
• \( x = -7\frac{\pi}{2} \): \( \cos(-\frac{7\pi}{2}) = 0 \ge 0 \) (подходит)
• \( x = -4\pi \): \( \cos(-4\pi) = 1 \ge 0 \) (подходит)

Подслучай 1.2: \( -2\sin x \cos x = \sqrt{2} \)

\( -\sin(2x) = \sqrt{2} \)

\( \sin(2x) = -\sqrt{2} \)

Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \le \sin(2x) \le 1 \), а \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \).

Случай 2: \( \cos x < 0 \) (тогда \( |\cos x| = -\cos x \)).

\( -2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} (-\cos x) \)

\( -2\sin x \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0 \)

\( \cos x (-2\sin x \cos x + \sqrt{2}) = 0 \)

Это даёт два подслучая:

Подслучай 2.1: \( \cos x = 0 \)

Мы уже рассмотрели эти корни. На отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \) с условием \( \cos x < 0 \) нет таких корней. \( \cos x = 0 \) не удовлетворяет \( \cos x < 0 \).

Подслучай 2.2: \( -2\sin x \cos x + \sqrt{2} = 0 \)

\( -2\sin x \cos x = -\sqrt{2} \)

\( \sin(2x) = \sqrt{2} \)

Это уравнение также не имеет решений, так как \( \sqrt{2} > 1 \).

Возвращаемся к анализу корней \( \cos x = 0 \) на отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \).

Отрезок: \( [-4\pi, -2.5\pi] \).

Значения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) на этом отрезке:

• \( k = -5 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -4.5\pi = -9\frac{\pi}{2} \) (вне отрезка)
• \( k = -4 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -3.5\pi = -7\frac{\pi}{2} \) (в отрезке, \( -4\pi \le -3.5\pi \le -2.5\pi \) )
• \( k = -3 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -2.5\pi = -5\frac{\pi}{2} \) (в отрезке, \( -4\pi \le -2.5\pi \le -2.5\pi \) )

Итак, корни из \( \cos x = 0 \) на отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \) это \( -7\frac{\pi}{2} \) и \( -5\frac{\pi}{2} \).

Рассмотрим случай, когда \( \cos x
e 0 \) и \( \sin x
e 0 \).

Уравнение: \( -2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} |\cos x| \)

Если \( \cos x > 0 \) (т.е. \( |\cos x| = \cos x \)), то:

\( -2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} \cos x \)

Разделим на \( \cos x \) (так как \( \cos x
e 0 \)):

\( -2\sin x \cos x = \sqrt{2} \)

\( -\sin(2x) = \sqrt{2} \)

\( \sin(2x) = -\sqrt{2} \)

Решений нет.

Если \( \cos x < 0 \) (т.е. \( |\cos x| = -\cos x \)), то:

\( -2\sin x \cos^2 x = \sqrt{2} (-\cos x) \)

Разделим на \( \cos x \) (так как \( \cos x
e 0 \)):

\( -2\sin x \cos x = -\sqrt{2} \)

\( \sin(2x) = \sqrt{2} \)

Решений нет.

Вывод: Единственные корни происходят из \( \cos x = 0 \).

На отрезке \( \left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] \) корни \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) соответствуют:

• \( k = -4 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -3.5\pi = -7\frac{\pi}{2} \)
• \( k = -3 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -2.5\pi = -5\frac{\pi}{2} \)

Проверим, что эти корни лежат на отрезке:

• \( -4\pi \le -3.5\pi \le -2.5\pi \) (Верно)
• \( -4\pi \le -2.5\pi \le -2.5\pi \) (Верно)

Всего найдено 2 корня.

Ответ: 2