Найдите количество корней уравнения sin(3x)cos(3x) = 0,5-sin(4x) на промежутке [-265°: 180]:

Пошаговое решение:

1. Преобразуем уравнение: \[ sin(3x)cos(3x) = 0.5 \cdot sin(4x) \] Умножим обе части на 2: \[ 2sin(3x)cos(3x) = sin(4x) \] Используем формулу двойного угла: \[ sin(6x) = sin(4x) \]
2. Перенесем все в одну сторону: \[ sin(6x) - sin(4x) = 0 \] Применим формулу разности синусов: \[ 2cos(\frac{6x+4x}{2})sin(\frac{6x-4x}{2}) = 0 \] Упростим: \[ 2cos(5x)sin(x) = 0 \]
3. Уравнение распадается на два: \[ cos(5x) = 0 \] или \[ sin(x) = 0 \]
4. Решим первое уравнение: \[ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} \]
5. Решим второе уравнение: \[ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \]
6. Переведем границы промежутка в радианы: \[ -265^\circ = -265 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{53\pi}{36} \] \[ 180^\circ = \pi \]
7. Найдем корни первого уравнения на заданном промежутке: \[ -\frac{53\pi}{36} \le \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} \le \pi \] Умножим на \[ \frac{1}{\pi} \]: \[ -\frac{53}{36} \le \frac{1}{10} + \frac{k}{5} \le 1 \] Умножим на 180: \[ -265 \le 18 + 36k \le 180 \] \[ -283 \le 36k \le 162 \] \[ -7.86 \le k \le 4.5 \] k принимает целые значения: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 (12 корней)
8. Найдем корни второго уравнения на заданном промежутке: \[ -\frac{53\pi}{36} \le \pi n \le \pi \] \[ -\frac{53}{36} \le n \le 1 \] n принимает целые значения: -1 (приблизительно -1.47), 0, 1 (3 корня)
9. Вычислим корни первого уравнения: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} \] k=-7: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-7\pi}{5} = -\frac{13\pi}{10} = -234^\circ \] k=-6: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-6\pi}{5} = -\frac{11\pi}{10} = -198^\circ \] k=-5: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-5\pi}{5} = -\frac{9\pi}{10} = -162^\circ \] k=-4: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-4\pi}{5} = -\frac{7\pi}{10} = -126^\circ \] k=-3: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-3\pi}{5} = -\frac{5\pi}{10} = -90^\circ \] k=-2: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-2\pi}{5} = -\frac{3\pi}{10} = -54^\circ \] k=-1: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{-\pi}{5} = -\frac{\pi}{10} = -18^\circ \] k=0: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{0}{5} = \frac{\pi}{10} = 18^\circ \] k=1: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10} = 54^\circ \] k=2: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} = 90^\circ \] k=3: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} = 126^\circ \] k=4: \[ x = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} = 162^\circ \]
10. Вычислим корни второго уравнения: \[ x = \pi n \] n=-1: \[ x = -\pi = -180^\circ \] n=0: \[ x = 0^\circ \] n=1: \[ x = \pi = 180^\circ \]
11. Итого, в заданном промежутке у первого уравнения 12 корней, у второго 3 корня.

Ответ: 15